Страница 88 номер 216, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1)

\(y = \sqrt[3]{x^{2} + 2x - 15}\)

Так как мы имеем корень нечетной степени, то подкоренное выражение может принимать как положительные, так и отрицательные и равные 0 значения.

Таким образом, правая часть равенства имеет смысл при любом значении переменной \(x\), то есть функция определена при \(x \in (-\infty; +\infty)\)

2)

\(y = \sqrt[4]{13x - 22 - x^{2}}\)

Так как мы имеем корень четной степени, то подкоренное выражение не может быть отрицательным:

\(13x - 22 - x^{2} \geqslant 0| \cdot (-1)\)
\(x^{2} - 13x + 22 \leqslant 0\)

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения, воспользовавшись теоремой Виета

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = 22 \\ x_{1} + x_{2} = 13\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = 11 \\ x_{2} = 2\end{cases}\)

Квадратный трехчлен \((x^{2} - 13x + 22)\) обращается в 0 в точках 11 и 2. Отметим данные точки на числовой оси ОХ, которая разбивается указанными точками на 3 интервала, на каждом из которых \(f(x) = x^{2} - 13x + 22\) сохраняет постоянный знак.

Найдем числовые промежутки, на которых \(f(x) \leqslant 0\), воспользовавшись следующей геометрической моделью:

Ответ: функция определена при \(x \in [2; 11]\)

3)

\(y = \sqrt{\dfrac{x^{2} + 6x + 5}{x + 7}}\)

Так как мы имеем корень четной степени, то подкоренное выражение не может быть отрицательным:

\(\dfrac{x^{2} + 6x + 5}{x + 7} \geqslant 0\)

Разложим числитель дроби, находящийся в левой части неравенства, на множители:

\(x^{2} + 6x + 5 = 0\)

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения, воспользовавшись теоремой Виета

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = 5 \\ x_{1} + x_{2} = -6\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = -5 \\ x_{2} = -1\end{cases}\)
\(x^{2} + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1)\)

Наше неравенство примет вид:

\(\dfrac{(x + 5)(x + 1)}{x + 7} \geqslant 0\)

Решим данное неравенство, воспользовавшись методом интервалов. Левая часть неравенства имеет смысл при \(\begin{cases}x + 7 \neq 0 \\ x \neq - 7\end{cases}\) и обращается в 0 в точках \(-5\) и \(-1\)

Отметим данные точки на числовой оси ОХ, которая разбивается указанными точками на 4 интервала, на каждом из которых \(f(x) = \frac{(x + 5)(x + 1)}{x + 7}\) сохраняет постоянный знак.

Найдем числовые промежутки, на которых \(f(x) \geqslant 0\), воспользовавшись следующей геометрической моделью:

Ответ: функция определена при \(x \in (-7; -5] \cup [-1; +\infty)\)

4)

\(y = \sqrt{\dfrac{x^{2} - 9}{x^{2} + 8x + 7}}\)

Так как мы имеем корень четной степени, то подкоренное выражение не может быть отрицательным:

\(\dfrac{x^{2} - 9}{x^{2} + 8x + 7} \geqslant 0\)

Разложим числитель дроби, находящийся в левой части неравенства, на множители, применив формулу разности квадратов:

\(x^{2} - 9 = \left(x - 3\right)(x + 3)\)

Разложим знаменатель дроби, находящийся в левой части неравенства, на множители. Для этого найдем значения \(x\), при которых квадратный трехчлен \((x^{2} + 8x + 7)\) обращается в 0.

\(x^{2} + 8x + 7 = 0\)

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения, воспользовавшись теоремой Виета

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = 7 \\ x_{1} + x_{2} = -8\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = -7 \\ x_{2} = -1\end{cases}\)
\(x^{2} + 8x + 7 = (x + 7)(x + 1)\)

Наше неравенство примет вид:

\(\dfrac{\left(x - 3\right)(x + 3)}{\left(x + 7\right)(x + 1)} \geqslant 0\)

Решим данное неравенство, воспользовавшись методом интервалов.

Левая часть неравенства имеет смысл при \(\begin{cases}(x + 7)(x + 1) \neq 0 \\ x \neq - 7\text{ и }x \neq - 1\end{cases}\) и обращается в 0 в точках \(-3\) и 3

Отметим данные точки на числовой оси ОХ, которая разбивается указанными точками на 5 интервалов, на каждом из которых \(f(x) = \frac{\left(x - 3\right)(x + 3)}{\left(x + 7\right)(x + 1)}\) сохраняет постоянный знак.

Найдем числовые промежутки, на которых \(f(x) \geqslant 0\), воспользовавшись следующей геометрической моделью:

Ответ: функция определена при \(x \in (-\infty; -7) \cup [-3; -1) \cup [3; +\infty)\)