Страница 76 номер 180, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Построить график функции: 1) \(y = \begin{cases}x^2, & \text{если } x \ge 0,\\ x^3, & \text{если } x < 0;\end{cases}\) 2) \(y = \begin{cases}x^3, & \text{если } x > 0,\\ x^2, & \text{если } x \le 0.\end{cases}\) Определить, при каких значениях аргумента значения функции положительны. Указать промежутки возрастания и убывания.
1)
\(y = \begin{cases}x^{2}, \text{ если }x \geqslant 0 \\ x^{3}, \text{ если }x < 0\end{cases}\)
а) Рассмотрим функцию \(y = x^{2}\)
Она четная \((y(-x) = y)\)
Графиком данной функции является парабола с ветвями, направленными вверх (а > 0) и с вершиной в начале координат
Составим таблицу значений для части графика при \(x \geqslant 0\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 \\ \hline\end{array}\]
б) Рассмотрим функцию \(y = x^{3}\)
Она нечетная \((y(-x) = -y)\)
Составим таблицу значений для части графика при \(x < 0\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x & -3 & -2 & -1 \\ \hline y & -27 & -8 & -1 \\ \hline\end{array}\]
Построим графики функций \(y = x^{2}\) и \(y = x^{3}\), а затем построим общий график функции \(y = \begin{cases}x^{2}, \text{ если }x \geqslant 0 \\ x^{3}, \text{ если }x < 0\end{cases}\) и укажем промежутки возрастания и убывания
\(y > 0\) при \(x > 0\)
Функция возрастает на всей области определения
2)
\(y = \begin{cases}x^{3}, \text{ если }x > 0 \\ x^{2}, \text{ если }x \leqslant 0\end{cases}\)
а) Рассмотрим функцию \(y = x^{3}\)
Она нечетная \((y(-x) = (-x)^{3} = -x^{3} = -y)\)
Составим таблицу значений для части графика при \(x > 0\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 1 & 8 & 27 \\ \hline\end{array}\]
б) Рассмотрим функцию \(y = x^{2}\)
Она четная \((y(-x) = y)\)
Графиком данной функции является парабола с ветвями, направленными вверх (а > 0) и с вершиной в начале координат
Составим таблицу значений для данного графика
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 \\ \hline y & 16 & 4 & 0 & 4 & 16 \\ \hline\end{array}\]
Построим графики функций \(y = x^{2}\) и \(y = x^{3}\), а затем построим общий график функции \(y = \begin{cases}x^{3}, \text{ если }x > 0 \\ x^{2}, \text{ если }x \leqslant 0\end{cases}\) и укажем промежутки возрастания и убывания
\(y > 0\) при \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\)
Функция возрастает при \(x \in [0; +\infty\)) и убывает при \(x \in (-\infty; 0]\)
