Страница 86 номер 200, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \((x - 1)^{3} > 1\)

Т.к кубическая функция возрастает и определена при всех действительных значениях \(x\), то

\((x - 1)^{3} > 1^{3}\)
\(x - 1 > 1\)
\(x > 2\)

Ответ: \(x > 2\)

2) \((x + 5)^{3} > 8\)

Т.к кубическая функция возрастает и определена при всех действительных значениях \(x\), то

\((x + 5)^{3} > 2^{3}\)
\(x + 5 > 2\)
\(x > 2 - 5\)
\(x > -3\)

Ответ: \(x > -3\)

3) \((2x - 3)^{7} \geqslant 1\)

Т.к степенная функция с нечетным натуральным показателем возрастает и определена при всех действительных значениях \(x\), то

\((2x - 3)^{7} \geqslant 1^{7}\)
\(2x - 3 \geqslant 1\)
\(2x \geqslant 1 + 3\)
\(2x \geqslant 4\)
\(x \geqslant \dfrac{4}{2}\)
\(x \geqslant 2\)

Ответ: \(x \geqslant 2\)

4) \((3x - 5)^{7} < 1\)

Т.к степенная функция с нечетным натуральным показателем возрастает и определена при всех действительных значениях \(x\), то

\((3x - 5)^{7} < 1^{7}\)
\(3x - 5 < 1\)
\(3x < 1 + 5\)
\(3x < 6\)
\(x < \dfrac{6}{3}\)
\(x < 2\)

Ответ: \(x < 2\)

5) \((3 - x)^{4} > 256\)

Функция \(y = (3 - x)^{4}\) возрастает при \(x \geqslant 3\) и убывает при \(x \leqslant 3\).

Уравнение \((3 - x)^{4} = 256\) имеет два действительных корня:

\((3 - x)^{4} = 16 \cdot 16\)
\((3 - x)^{4} = 4^{2} \cdot 4^{2}\)
\((3 - x)^{4} = 4^{4}\) \[\left[ \begin{array}{l} 3 - x = 4 \\ 3 - x = -4 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 - 4 \\ x = 3 + 4 \end{array} \right. \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = -1 \\ x_{2} = 7\end{cases}\]

Таким образом неравенство имеет решения:

\(\begin{cases}x \geqslant 3 : x > 7 \\ x \leqslant 3 : x < -1\end{cases}\)

Ответ: \(x < -1\), \(x > 7\).

6) \((4 - x)^{4} > 81\)

Функция \(y = (4 - x)^{4}\) возрастает при \(x \geqslant 4\) и убывает при \(x \leqslant 4\).

Уравнение \((4 - x)^{4} = 81\) имеет два действительных корня:

\((4 - x)^{4} = 9^{2}\)
\((4 - x)^{4} = (3^{2})^{2}\)
\((4 - x)^{4} = 3^{4}\) \[\left[ \begin{array}{l} 4 - x = 3 \\ 4 - x = -3 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4 - 3 \\ x = 4 + 3 \end{array} \right. \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = 1 \\ x_{2} = 7\end{cases}\]

Таким образом неравенство имеет решения:

\(\begin{cases}x \geqslant 4 : x > 7 \\ x \leqslant 4 : x < 1\end{cases}\)

Ответ: \(x < 1\), \(x > 7\).