Страница 122 номер 10.34, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.
Пусть плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны и прямая \(a\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\).
Прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость; пусть \(A\) — точка пересечения прямой \(a\) с плоскостью \(\alpha\). Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость; пусть \(B\) — точка пересечения прямой \(a\) с плоскостью \(\beta\).
Проведём в плоскости \(\beta\) через точку \(B\) две различные прямые \(b_1\) и \(c_1\). Прямая \(a\) не лежит в плоскости \(\beta\) (иначе точка \(A\) была бы общей точкой параллельных плоскостей), поэтому пересекающиеся прямые \(a\) и \(b_1\) задают плоскость, отличную от \(\beta\). Эта плоскость имеет с плоскостью \(\alpha\) общую точку \(A\) и не совпадает с ней (в этой плоскости лежит прямая \(b_1\), у которой нет общих точек с плоскостью \(\alpha\)), поэтому пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(b\), проходящей через точку \(A\). Прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны, значит, \(b \parallel b_1\). Аналогично плоскость, проходящая через прямые \(a\) и \(c_1\), пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(c\), параллельной \(c_1\).
По определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(a \perp b\) и \(a \perp c\). В плоскости, проходящей через прямые \(a\) и \(b_1\), прямая \(a\) перпендикулярна прямой \(b\), а \(b_1 \parallel b\), поэтому \(a \perp b_1\). Аналогично \(a \perp c_1\). Прямая \(a\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(b_1\) и \(c_1\) плоскости \(\beta\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(a \perp \beta\).
Ответ: прямая \(a\) перпендикулярна плоскости \(\beta\).
Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.
Пусть плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны и прямая \(a\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\). Докажем, что \(a \perp \beta\).
Прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость; пусть \(A\) — точка пересечения прямой \(a\) с плоскостью \(\alpha\). Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость; пусть \(B\) — точка пересечения прямой \(a\) с плоскостью \(\beta\).
Проведём в плоскости \(\beta\) через точку \(B\) две различные прямые \(b_1\) и \(c_1\). Прямая \(a\) не лежит в плоскости \(\beta\) (иначе точка \(A\) была бы общей точкой параллельных плоскостей), поэтому пересекающиеся прямые \(a\) и \(b_1\) задают плоскость, отличную от \(\beta\). Эта плоскость имеет с плоскостью \(\alpha\) общую точку \(A\) и не совпадает с ней (в этой плоскости лежит прямая \(b_1\), у которой нет общих точек с плоскостью \(\alpha\)), поэтому пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(b\), проходящей через точку \(A\). Прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны, значит, \(b \parallel b_1\). Аналогично плоскость, проходящая через прямые \(a\) и \(c_1\), пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(c\), параллельной \(c_1\).
По определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(a \perp b\) и \(a \perp c\). В плоскости, проходящей через прямые \(a\) и \(b_1\), прямая \(a\) перпендикулярна прямой \(b\), а \(b_1 \parallel b\), поэтому \(a \perp b_1\). Аналогично \(a \perp c_1\). Прямая \(a\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(b_1\) и \(c_1\) плоскости \(\beta\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(a \perp \beta\).
Ответ: прямая \(a\) перпендикулярна плоскости \(\beta\).
