Страница 122 номер 10.33, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\). Точка \(O\) — центр грани \(CC_1D_1D\). Постройте сечение куба, проходящее через точку \(O\) и перпендикулярное прямой \(AC\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)
\(O\) — центр грани \(CC_1D_1D\)
сечение проходит через точку \(O\) перпендикулярно прямой \(AC\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Через точку \(O\) проведём отрезок \(MK\) параллельно ребру \(CC_1\) (точки \(M\) и \(K\) принадлежат рёбрам \(DC\) и \(D_1C_1\)). Через точку \(M\) проведём отрезок \(MN\) параллельно прямой \(BD\) (точка \(N\) принадлежит ребру \(BC\)), через точку \(N\) — отрезок \(NP\) параллельно ребру \(CC_1\) (точка \(P\) принадлежит ребру \(B_1C_1\)). Соединим точки \(K\) и \(P\).
Диагонали квадрата \(ABCD\) перпендикулярны: \(BD \perp AC\). Поскольку \(MN \parallel BD\), то \(MN \perp AC\). Имеем: \(CC_1 \perp CB\) и \(CC_1 \perp CD\) (грани куба — квадраты), а прямые \(CB\) и \(CD\) пересекаются, следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(CC_1 \perp ABC\). Поскольку \(MK \parallel CC_1\), то \(MK \perp ABC\): если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Так как \(AC \subset ABC\), то \(MK \perp AC\). Значит, прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MN\) и \(MK\) плоскости \(MNK\), и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AC \perp MNK\); эта плоскость проходит через точку \(O\), так как \(O \in MK\). Прямая \(NP\) проходит через точку \(N\) плоскости \(MNK\) параллельно её прямой \(MK\), поэтому лежит в этой плоскости. Следовательно, сечение куба плоскостью \(MNK\) — четырёхугольник \(MNPK\).
Точка \(O\) — середина диагонали \(DC_1\) квадрата \(DCC_1D_1\) и \(MO \parallel CC_1\), поэтому по теореме Фалеса \(M\) — середина ребра \(DC\). Так как \(MN \parallel BD\), то \(N\) — середина ребра \(BC\), а \(MN\) — средняя линия треугольника \(BCD\): \(MN = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\), так как диагональ квадрата со стороной \(a\) равна \(a\sqrt{2}\). Четырёхугольники \(MCC_1K\) и \(NCC_1P\) — параллелограммы, поэтому \(MK = NP = CC_1 = a\), а \(K\) и \(P\) — середины рёбер \(D_1C_1\) и \(B_1C_1\). В четырёхугольнике \(MNPK\) стороны \(MK\) и \(NP\) равны и параллельны, значит, это параллелограмм; так как \(MK \perp ABC\), то \(MK \perp MN\), и \(MNPK\) — прямоугольник. Его площадь \[S = MN \cdot MK = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}.\]
Ответ: сечение — прямоугольник \(MNPK\), где \(M\), \(N\), \(P\), \(K\) — середины рёбер \(DC\), \(BC\), \(B_1C_1\), \(D_1C_1\); его площадь равна \(\frac{a^2\sqrt{2}}{2}\).
Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\). Точка \(O\) — центр грани \(CC_1D_1D\). Постройте сечение куба, проходящее через точку \(O\) и перпендикулярное прямой \(AC\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)
\(O\) — центр грани \(CC_1D_1D\)
сечение проходит через точку \(O\) перпендикулярно прямой \(AC\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Через точку \(O\) проведём отрезок \(MK\) параллельно ребру \(CC_1\) (точки \(M\) и \(K\) принадлежат рёбрам \(DC\) и \(D_1C_1\)). Через точку \(M\) проведём отрезок \(MN\) параллельно прямой \(BD\) (точка \(N\) принадлежит ребру \(BC\)), через точку \(N\) — отрезок \(NP\) параллельно ребру \(CC_1\) (точка \(P\) принадлежит ребру \(B_1C_1\)). Соединим точки \(K\) и \(P\). Докажем, что четырёхугольник \(MNPK\) — искомое сечение.
Диагонали квадрата \(ABCD\) перпендикулярны: \(BD \perp AC\). Поскольку \(MN \parallel BD\), то \(MN \perp AC\). Имеем: \(CC_1 \perp CB\) и \(CC_1 \perp CD\) (грани куба — квадраты), а прямые \(CB\) и \(CD\) пересекаются, следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(CC_1 \perp ABC\). Поскольку \(MK \parallel CC_1\), то \(MK \perp ABC\): если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Так как \(AC \subset ABC\), то \(MK \perp AC\). Значит, прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MN\) и \(MK\) плоскости \(MNK\), и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AC \perp MNK\); эта плоскость проходит через точку \(O\), так как \(O \in MK\). Прямая \(NP\) проходит через точку \(N\) плоскости \(MNK\) параллельно её прямой \(MK\), поэтому лежит в этой плоскости. Следовательно, сечение куба плоскостью \(MNK\) — четырёхугольник \(MNPK\).
Точка \(O\) — середина диагонали \(DC_1\) квадрата \(DCC_1D_1\) и \(MO \parallel CC_1\), поэтому по теореме Фалеса \(M\) — середина ребра \(DC\). Так как \(MN \parallel BD\), то \(N\) — середина ребра \(BC\), а \(MN\) — средняя линия треугольника \(BCD\): \(MN = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\), так как диагональ квадрата со стороной \(a\) равна \(a\sqrt{2}\). Четырёхугольники \(MCC_1K\) и \(NCC_1P\) — параллелограммы, поэтому \(MK = NP = CC_1 = a\), а \(K\) и \(P\) — середины рёбер \(D_1C_1\) и \(B_1C_1\). В четырёхугольнике \(MNPK\) стороны \(MK\) и \(NP\) равны и параллельны, значит, это параллелограмм; так как \(MK \perp ABC\), то \(MK \perp MN\), и \(MNPK\) — прямоугольник. Его площадь \[S = MN \cdot MK = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}.\]
Ответ: сечение — прямоугольник \(MNPK\), где \(M\), \(N\), \(P\), \(K\) — середины рёбер \(DC\), \(BC\), \(B_1C_1\), \(D_1C_1\); его площадь равна \(\frac{a^2\sqrt{2}}{2}\).
