Страница 122 номер 10.32, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\). Точка \(M\) — середина ребра \(DC\). Постройте сечение куба, проходящее через точку \(M\) и перпендикулярное прямой \(BD\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)
\(M\) — середина ребра \(DC\)
сечение проходит через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(BD\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Через точку \(M\) проведём отрезок \(MN\) параллельно прямой \(AC\) (точка \(N\) принадлежит ребру \(AD\)). Через точки \(M\) и \(N\) проведём отрезки \(MK\) и \(NL\) параллельно ребру \(DD_1\) (точки \(K\) и \(L\) принадлежат рёбрам \(D_1C_1\) и \(A_1D_1\)). Соединим точки \(K\) и \(L\).
Диагонали квадрата \(ABCD\) перпендикулярны: \(AC \perp BD\). Поскольку \(MN \parallel AC\), то \(MN \perp BD\). Имеем: \(DD_1 \perp DA\) и \(DD_1 \perp DC\) (грани куба — квадраты), а прямые \(DA\) и \(DC\) пересекаются, следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(DD_1 \perp ABC\). Поскольку \(MK \parallel DD_1\), то \(MK \perp ABC\): если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Так как \(BD \subset ABC\), то \(MK \perp BD\). Значит, прямая \(BD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MN\) и \(MK\) плоскости \(MNK\), и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BD \perp MNK\). Прямая \(NL\) проходит через точку \(N\) плоскости \(MNK\) параллельно её прямой \(MK\), поэтому лежит в этой плоскости. Следовательно, сечение куба плоскостью \(MNK\) — четырёхугольник \(MNLK\).
Точка \(M\) — середина ребра \(DC\) и \(MN \parallel AC\), поэтому по теореме Фалеса \(N\) — середина ребра \(AD\), а \(MN\) — средняя линия треугольника \(ACD\): \(MN = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\), так как диагональ квадрата со стороной \(a\) равна \(a\sqrt{2}\). Четырёхугольники \(DMKD_1\) и \(DNLD_1\) — параллелограммы, поэтому \(MK = NL = DD_1 = a\), а \(K\) и \(L\) — середины рёбер \(D_1C_1\) и \(A_1D_1\). В четырёхугольнике \(MNLK\) стороны \(MK\) и \(NL\) равны и параллельны, значит, это параллелограмм; так как \(MK \perp ABC\), то \(MK \perp MN\), и \(MNLK\) — прямоугольник. Его площадь \[S = MN \cdot MK = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}.\]
Ответ: сечение — прямоугольник \(MNLK\), где \(N\), \(L\), \(K\) — середины рёбер \(AD\), \(A_1D_1\), \(D_1C_1\); его площадь равна \(\frac{a^2\sqrt{2}}{2}\).
Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\). Точка \(M\) — середина ребра \(DC\). Постройте сечение куба, проходящее через точку \(M\) и перпендикулярное прямой \(BD\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)
\(M\) — середина ребра \(DC\)
сечение проходит через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(BD\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Через точку \(M\) проведём отрезок \(MN\) параллельно прямой \(AC\) (точка \(N\) принадлежит ребру \(AD\)). Через точки \(M\) и \(N\) проведём отрезки \(MK\) и \(NL\) параллельно ребру \(DD_1\) (точки \(K\) и \(L\) принадлежат рёбрам \(D_1C_1\) и \(A_1D_1\)). Соединим точки \(K\) и \(L\). Докажем, что четырёхугольник \(MNLK\) — искомое сечение.
Диагонали квадрата \(ABCD\) перпендикулярны: \(AC \perp BD\). Поскольку \(MN \parallel AC\), то \(MN \perp BD\). Имеем: \(DD_1 \perp DA\) и \(DD_1 \perp DC\) (грани куба — квадраты), а прямые \(DA\) и \(DC\) пересекаются, следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(DD_1 \perp ABC\). Поскольку \(MK \parallel DD_1\), то \(MK \perp ABC\): если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Так как \(BD \subset ABC\), то \(MK \perp BD\). Значит, прямая \(BD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MN\) и \(MK\) плоскости \(MNK\), и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BD \perp MNK\). Прямая \(NL\) проходит через точку \(N\) плоскости \(MNK\) параллельно её прямой \(MK\), поэтому лежит в этой плоскости. Следовательно, сечение куба плоскостью \(MNK\) — четырёхугольник \(MNLK\).
Точка \(M\) — середина ребра \(DC\) и \(MN \parallel AC\), поэтому по теореме Фалеса \(N\) — середина ребра \(AD\), а \(MN\) — средняя линия треугольника \(ACD\): \(MN = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\), так как диагональ квадрата со стороной \(a\) равна \(a\sqrt{2}\). Четырёхугольники \(DMKD_1\) и \(DNLD_1\) — параллелограммы, поэтому \(MK = NL = DD_1 = a\), а \(K\) и \(L\) — середины рёбер \(D_1C_1\) и \(A_1D_1\). В четырёхугольнике \(MNLK\) стороны \(MK\) и \(NL\) равны и параллельны, значит, это параллелограмм; так как \(MK \perp ABC\), то \(MK \perp MN\), и \(MNLK\) — прямоугольник. Его площадь \[S = MN \cdot MK = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}.\]
Ответ: сечение — прямоугольник \(MNLK\), где \(N\), \(L\), \(K\) — середины рёбер \(AD\), \(A_1D_1\), \(D_1C_1\); его площадь равна \(\frac{a^2\sqrt{2}}{2}\).
