Страница 123 номер 10.37, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Каждое ребро тетраэдра \(DABC\) равно \(a\). На ребре \(AD\) отмечена точка \(M\) такая, что \(AM : MD = 3 : 1\). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной ребру \(AD\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр, все рёбра которого равны \(a\)
\(M \in AD\), \(AM : MD = 3 : 1\)
сечение проходит через точку \(M\) перпендикулярно ребру \(AD\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Пусть \(L\) — середина ребра \(AD\). Через точку \(M\) проведём отрезки \(MP\) и \(MQ\) параллельно отрезкам \(LB\) и \(LC\) (точки \(P\) и \(Q\) принадлежат рёбрам \(DB\) и \(DC\)). Соединим точки \(P\) и \(Q\).
Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) равносторонние, поэтому их медианы \(BL\) и \(CL\) являются высотами: \(AD \perp BL\) и \(AD \perp CL\). Поскольку \(MP \parallel BL\) и \(MQ \parallel CL\), то \(AD \perp MP\) и \(AD \perp MQ\). Прямая \(AD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MP\) и \(MQ\) плоскости \(MPQ\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AD \perp MPQ\).
Так как \(AL = \frac{a}{2}\) и \(AM = \frac{3a}{4}\), то \(LM = MD = \frac{a}{4}\), то есть \(M\) — середина отрезка \(LD\). В треугольнике \(DLB\) отрезок \(MP\) параллелен стороне \(LB\) и проходит через середину стороны \(DL\), поэтому \(P\) — середина ребра \(DB\), а \(MP\) — средняя линия треугольника: \(MP = \frac{BL}{2}\). Высота равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\), поэтому \(MP = \frac{a\sqrt{3}}{4}\). Аналогично \(Q\) — середина ребра \(DC\) и \(MQ = \frac{a\sqrt{3}}{4}\). Отрезок \(PQ\) — средняя линия треугольника \(DBC\), поэтому \(PQ = \frac{a}{2}\).
Треугольник \(MPQ\) равнобедренный; пусть \(H\) — середина его основания \(PQ\), тогда \(MH\) — высота и \(PH = \frac{a}{4}\).
Высоту \(MH\) находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(MHP\), затем — площадь \(S\) сечения: \[\begin{aligned} MH &= \sqrt{MP^2 - PH^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{16} - \frac{a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{2}}{4}; \\ S &= \frac{1}{2}PQ \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{4} = \frac{a^2\sqrt{2}}{16}. \end{aligned}\]
Ответ: сечение — треугольник \(MPQ\), где \(P\) и \(Q\) — середины рёбер \(DB\) и \(DC\); его площадь равна \(\frac{a^2\sqrt{2}}{16}\).
Каждое ребро тетраэдра \(DABC\) равно \(a\). На ребре \(AD\) отмечена точка \(M\) такая, что \(AM : MD = 3 : 1\). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной ребру \(AD\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр, все рёбра которого равны \(a\)
\(M \in AD\), \(AM : MD = 3 : 1\)
сечение проходит через точку \(M\) перпендикулярно ребру \(AD\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Пусть \(L\) — середина ребра \(AD\). Через точку \(M\) проведём отрезки \(MP\) и \(MQ\) параллельно отрезкам \(LB\) и \(LC\) (точки \(P\) и \(Q\) принадлежат рёбрам \(DB\) и \(DC\)). Соединим точки \(P\) и \(Q\). Докажем, что треугольник \(MPQ\) — искомое сечение.
Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) равносторонние, поэтому их медианы \(BL\) и \(CL\) являются высотами: \(AD \perp BL\) и \(AD \perp CL\). Поскольку \(MP \parallel BL\) и \(MQ \parallel CL\), то \(AD \perp MP\) и \(AD \perp MQ\). Прямая \(AD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MP\) и \(MQ\) плоскости \(MPQ\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AD \perp MPQ\).
Так как \(AL = \frac{a}{2}\) и \(AM = \frac{3a}{4}\), то \(LM = MD = \frac{a}{4}\), то есть \(M\) — середина отрезка \(LD\). В треугольнике \(DLB\) отрезок \(MP\) параллелен стороне \(LB\) и проходит через середину стороны \(DL\), поэтому \(P\) — середина ребра \(DB\), а \(MP\) — средняя линия треугольника: \(MP = \frac{BL}{2}\). Высота равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\), поэтому \(MP = \frac{a\sqrt{3}}{4}\). Аналогично \(Q\) — середина ребра \(DC\) и \(MQ = \frac{a\sqrt{3}}{4}\). Отрезок \(PQ\) — средняя линия треугольника \(DBC\), поэтому \(PQ = \frac{a}{2}\).
Треугольник \(MPQ\) равнобедренный; пусть \(H\) — середина его основания \(PQ\), тогда \(MH\) — высота и \(PH = \frac{a}{4}\).
Высоту \(MH\) находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(MHP\), затем — площадь \(S\) сечения: \[\begin{aligned} MH &= \sqrt{MP^2 - PH^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{16} - \frac{a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{2}}{4}; \\ S &= \frac{1}{2}PQ \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{4} = \frac{a^2\sqrt{2}}{16}. \end{aligned}\]
Ответ: сечение — треугольник \(MPQ\), где \(P\) и \(Q\) — середины рёбер \(DB\) и \(DC\); его площадь равна \(\frac{a^2\sqrt{2}}{16}\).
