Страница 122 номер 10.35, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Пусть \(M\) — данная точка прямой \(a\). Через прямую \(a\) проведём две различные плоскости и в каждой из них через точку \(M\) — прямую, перпендикулярную прямой \(a\); получим прямые \(b\) и \(c\). Они различны: иначе такая прямая лежала бы в обеих плоскостях, то есть совпадала бы с прямой \(a\), по которой эти плоскости пересекаются, а она перпендикулярна \(a\). Через пересекающиеся прямые \(b\) и \(c\) проходит плоскость \(\alpha\). Прямая \(a\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(b\) и \(c\) плоскости \(\alpha\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(a \perp \alpha\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точку \(M\) и перпендикулярна прямой \(a\).

Докажем, что любая прямая \(x\), проходящая через точку \(M\) и перпендикулярная прямой \(a\), лежит в плоскости \(\alpha\).

Пересекающиеся прямые \(a\) и \(x\) задают плоскость \(\beta\). Прямая \(a\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), поэтому пересекает её и не лежит в ней; значит, плоскость \(\beta\) отлична от \(\alpha\). Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) имеют общую точку \(M\), поэтому пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\). По определению прямой, перпендикулярной плоскости, эта прямая перпендикулярна прямой \(a\). В плоскости \(\beta\) через точку \(M\) прямой \(a\) проходит только одна прямая, перпендикулярная \(a\); значит, прямая \(x\) совпадает с прямой пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) и лежит в плоскости \(\alpha\).

Следовательно, все прямые, проходящие через точку \(M\) и перпендикулярные прямой \(a\), лежат в одной плоскости \(\alpha\), которая проходит через точку \(M\) и перпендикулярна прямой \(a\).

Ответ: все прямые, проходящие через данную точку \(M\) прямой \(a\) и перпендикулярные этой прямой, лежат в плоскости \(\alpha\), которая проходит через точку \(M\) и перпендикулярна прямой \(a\).