Страница 123 номер 10.39, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) — середина ребра \(BC\) тетраэдра \(DABC\). Известно, что \(AD = AB = CB = CD = 10\) см, \(AC = 8\) см, \(BD = 12\) см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(BD\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(AD = AB = CB = CD = 10\) см
\(AC = 8\) см
\(BD = 12\) см
\(M\) — середина ребра \(BC\)
сечение проходит через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(BD\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Пусть \(K\) — середина ребра \(BD\). Треугольники \(ABD\) и \(CBD\) равнобедренные с основанием \(BD\) (\(AB = AD\), \(CB = CD\)), поэтому их медианы \(AK\) и \(CK\) являются высотами: \(BD \perp AK\) и \(BD \perp CK\). Прямые \(AK\) и \(CK\) пересекаются, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BD \perp AKC\), а так как \(AC \subset AKC\), то \(BD \perp AC\).
Через точку \(M\) проведём отрезки \(MQ\) и \(MP\) параллельно отрезкам \(AC\) и \(CK\) (точки \(Q\) и \(P\) принадлежат рёбрам \(AB\) и \(BD\)). Соединим точки \(P\) и \(Q\).
Поскольку \(MQ \parallel AC\), то угол между прямыми \(BD\) и \(MQ\) равен углу между прямыми \(BD\) и \(AC\), то есть \(BD \perp MQ\). Поскольку \(MP \parallel CK\), то \(BD \perp MP\). Прямая \(BD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MQ\) и \(MP\) плоскости \(MPQ\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BD \perp MPQ\).
Так как \(BK = \frac{BD}{2} = 6\) см, то из прямоугольных треугольников \(ABK\) и \(CBK\) по теореме Пифагора \(AK = CK = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\) (см). Отрезок \(MQ\) проходит через середину \(M\) стороны \(BC\) треугольника \(ABC\) параллельно стороне \(AC\), поэтому \(Q\) — середина \(AB\) и \(MQ = \frac{AC}{2} = 4\) см. Так же в треугольнике \(BCK\): \(P\) — середина \(BK\), то есть \(BP = 3\) см, и \(MP = \frac{CK}{2} = 4\) см. Отрезок \(PQ\) соединяет середины сторон \(BK\) и \(BA\) треугольника \(ABK\), поэтому \(PQ = \frac{AK}{2} = 4\) см.
Сечение — равносторонний треугольник со стороной 4 см, его площадь \(S = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\) (см\(^2\)).
Ответ: сечение — равносторонний треугольник \(MPQ\) (\(Q\) — середина ребра \(AB\), \(BP = 3\) см); его площадь равна \(4\sqrt{3}\) см\(^2\).
Точка \(M\) — середина ребра \(BC\) тетраэдра \(DABC\). Известно, что \(AD = AB = CB = CD = 10\) см, \(AC = 8\) см, \(BD = 12\) см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(BD\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(AD = AB = CB = CD = 10\) см
\(AC = 8\) см
\(BD = 12\) см
\(M\) — середина ребра \(BC\)
сечение проходит через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(BD\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Пусть \(K\) — середина ребра \(BD\). Треугольники \(ABD\) и \(CBD\) равнобедренные с основанием \(BD\) (\(AB = AD\), \(CB = CD\)), поэтому их медианы \(AK\) и \(CK\) являются высотами: \(BD \perp AK\) и \(BD \perp CK\). Прямые \(AK\) и \(CK\) пересекаются, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BD \perp AKC\), а так как \(AC \subset AKC\), то \(BD \perp AC\).
Через точку \(M\) проведём отрезки \(MQ\) и \(MP\) параллельно отрезкам \(AC\) и \(CK\) (точки \(Q\) и \(P\) принадлежат рёбрам \(AB\) и \(BD\)). Соединим точки \(P\) и \(Q\). Докажем, что треугольник \(MPQ\) — искомое сечение.
Поскольку \(MQ \parallel AC\), то угол между прямыми \(BD\) и \(MQ\) равен углу между прямыми \(BD\) и \(AC\), то есть \(BD \perp MQ\). Поскольку \(MP \parallel CK\), то \(BD \perp MP\). Прямая \(BD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MQ\) и \(MP\) плоскости \(MPQ\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BD \perp MPQ\).
Так как \(BK = \frac{BD}{2} = 6\) см, то из прямоугольных треугольников \(ABK\) и \(CBK\) по теореме Пифагора \(AK = CK = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\) (см). Отрезок \(MQ\) проходит через середину \(M\) стороны \(BC\) треугольника \(ABC\) параллельно стороне \(AC\), поэтому \(Q\) — середина \(AB\) и \(MQ = \frac{AC}{2} = 4\) см. Так же в треугольнике \(BCK\): \(P\) — середина \(BK\), то есть \(BP = 3\) см, и \(MP = \frac{CK}{2} = 4\) см. Отрезок \(PQ\) соединяет середины сторон \(BK\) и \(BA\) треугольника \(ABK\), поэтому \(PQ = \frac{AK}{2} = 4\) см.
Сечение — равносторонний треугольник со стороной 4 см, его площадь \(S = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\) (см\(^2\)).
Ответ: сечение — равносторонний треугольник \(MPQ\) (\(Q\) — середина ребра \(AB\), \(BP = 3\) см); его площадь равна \(4\sqrt{3}\) см\(^2\).
