Страница 122 номер 10.36, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Предположим, что в пространстве существуют четыре попарно перпендикулярные прямые \(a\), \(b\), \(c\), \(d\). Через произвольную точку \(O\) проведём прямые \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\), \(d_1\), соответственно параллельные прямым \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) (если какая-то из данных прямых проходит через точку \(O\), в качестве проведённой берём её саму). Угол между прямыми \(a_1\) и \(b_1\) равен углу между прямыми \(a\) и \(b\): прямые \(a_1\) и \(b_1\) различны (иначе прямые \(a\) и \(b\) были бы параллельны или совпадали бы, а они перпендикулярны), поэтому пересекаются в точке \(O\) и соответственно параллельны прямым \(a\) и \(b\) или совпадают с ними. Значит, \(a_1 \perp b_1\); так же перпендикулярны и любые две другие из прямых \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\), \(d_1\).

Прямые \(a_1\) и \(b_1\) пересекаются в точке \(O\); через них проходит плоскость \(\alpha\). Прямая \(c_1\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(a_1\) и \(b_1\) плоскости \(\alpha\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(c_1 \perp \alpha\). Точно так же \(d_1 \perp \alpha\).

Через точку \(O\) можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости \(\alpha\), поэтому прямые \(c_1\) и \(d_1\) совпадают. Тогда каждая из прямых \(c\) и \(d\) параллельна прямой \(c_1\) или совпадает с ней. Прямые \(c\) и \(d\) перпендикулярны, значит, различны, поэтому они параллельны (две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой), и угол между ними равен \(0^\circ\), а не \(90^\circ\). Получили противоречие. Значит, четырёх попарно перпендикулярных прямых в пространстве не существует.

Ответ: нет, четырёх попарно перпендикулярных прямых в пространстве не существует.