Страница 123 номер 10.38, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Рёбра тетраэдра \(DABC\) равны, точка \(O\) — центр треугольника \(ABC\). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(O\) перпендикулярно прямой \(AD\).
Пусть \(N\) — середина ребра \(BC\), \(L\) — середина ребра \(AD\). Центр \(O\) правильного треугольника \(ABC\) — точка пересечения его медиан, поэтому он лежит на медиане \(AN\) и \(AO : ON = 2 : 1\).
Через точку \(O\) проведём отрезок \(PQ\) параллельно ребру \(BC\) (точки \(P\) и \(Q\) принадлежат рёбрам \(AB\) и \(AC\)), через точку \(P\) — отрезок \(PR\) параллельно отрезку \(BL\) (точка \(R\) принадлежит ребру \(AD\)). Соединим точки \(Q\) и \(R\).
Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) равносторонние, поэтому их медианы \(BL\) и \(CL\) являются высотами: \(AD \perp BL\) и \(AD \perp CL\). Прямые \(BL\) и \(CL\) пересекаются, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AD \perp BLC\), а так как \(BC \subset BLC\), то \(AD \perp BC\). Поскольку \(PQ \parallel BC\), то угол между прямыми \(AD\) и \(PQ\) равен углу между прямыми \(AD\) и \(BC\), то есть \(AD \perp PQ\). Поскольку \(PR \parallel BL\), то \(AD \perp PR\). Прямая \(AD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(PQ\) и \(PR\) плоскости \(PQR\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AD \perp PQR\). Плоскость \(PQR\) проходит через точку \(O\), так как \(O \in PQ\).
В треугольнике \(ABN\) отрезок \(PO\) параллелен стороне \(BN\), поэтому \(AP : PB = AO : ON = 2 : 1\); так же \(AQ : QC = 2 : 1\). В треугольнике \(ABL\) отрезок \(PR\) параллелен стороне \(BL\), поэтому \(AR : RL = AP : PB = 2 : 1\), то есть \(AR = \frac{2}{3}AL = \frac{1}{3}AD\) и \(AR : RD = 1 : 2\).
Ответ: сечение — треугольник \(PQR\), вершины которого лежат на рёбрах \(AB\), \(AC\) и \(AD\), причём \(AP : PB = AQ : QC = 2 : 1\) и \(AR : RD = 1 : 2\).
Рёбра тетраэдра \(DABC\) равны, точка \(O\) — центр треугольника \(ABC\). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(O\) перпендикулярно прямой \(AD\).
Пусть \(N\) — середина ребра \(BC\), \(L\) — середина ребра \(AD\). Центр \(O\) правильного треугольника \(ABC\) — точка пересечения его медиан, поэтому он лежит на медиане \(AN\) и \(AO : ON = 2 : 1\).
Через точку \(O\) проведём отрезок \(PQ\) параллельно ребру \(BC\) (точки \(P\) и \(Q\) принадлежат рёбрам \(AB\) и \(AC\)), через точку \(P\) — отрезок \(PR\) параллельно отрезку \(BL\) (точка \(R\) принадлежит ребру \(AD\)). Соединим точки \(Q\) и \(R\). Докажем, что треугольник \(PQR\) — искомое сечение.
Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) равносторонние, поэтому их медианы \(BL\) и \(CL\) являются высотами: \(AD \perp BL\) и \(AD \perp CL\). Прямые \(BL\) и \(CL\) пересекаются, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AD \perp BLC\), а так как \(BC \subset BLC\), то \(AD \perp BC\). Поскольку \(PQ \parallel BC\), то угол между прямыми \(AD\) и \(PQ\) равен углу между прямыми \(AD\) и \(BC\), то есть \(AD \perp PQ\). Поскольку \(PR \parallel BL\), то \(AD \perp PR\). Прямая \(AD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(PQ\) и \(PR\) плоскости \(PQR\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AD \perp PQR\). Плоскость \(PQR\) проходит через точку \(O\), так как \(O \in PQ\).
В треугольнике \(ABN\) отрезок \(PO\) параллелен стороне \(BN\), поэтому \(AP : PB = AO : ON = 2 : 1\); так же \(AQ : QC = 2 : 1\). В треугольнике \(ABL\) отрезок \(PR\) параллелен стороне \(BL\), поэтому \(AR : RL = AP : PB = 2 : 1\), то есть \(AR = \frac{2}{3}AL = \frac{1}{3}AD\) и \(AR : RD = 1 : 2\).
Ответ: сечение — треугольник \(PQR\), вершины которого лежат на рёбрах \(AB\), \(AC\) и \(AD\), причём \(AP : PB = AQ : QC = 2 : 1\) и \(AR : RD = 1 : 2\).
