Страница 426 номер 1563, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = 2\operatorname{ctg} {4x}\)
\(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = \dfrac{\operatorname{ctg}^{2}{2x} - 1}{\operatorname{ctg} {2x}},\)
\(\dfrac{\sin x}{\cos x} + \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{\frac{\cos^{2}{2x}}{\sin^{2}{2x}} - 1}{\dfrac{\cos{2x}}{\sin{2x}}},\)
\(\dfrac{1}{\cos x\sin x} = \dfrac{\cos^{2}{2x} - \sin^{2}{2x}}{\sin^{2}{2x}} \cdot \dfrac{\sin{2x}}{\cos{2x}},\)
\(\dfrac{2}{\sin{2x}} = \dfrac{\cos^{2}{2x} - \sin^{2}{2x}}{\sin{2x}\cos{2x}},\)
\(\dfrac{\cos^{2}{2x} - \sin^{2}{2x} - 2\cos{2x}}{\sin{2x}\cos{2x}} = 0,\)

Область определения: \(\sin{2x} \neq 0\), \(\cos{2x} \neq 0\);

\(\cos^{2}{2x} - 1 + \cos^{2}{2x} - 2\cos{2x} = 0,\)
\(2\cos^{2}{2x} - 2\cos{2x} - 1 = 0,\)
\(\cos{2x} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \dfrac{1 \pm \sqrt{3}}{2},\)
\(\cos{2x} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} > 1\) – нет решений;
\(\cos{2x} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2},\)
\(x = \pm \dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{\left( 1 - \sqrt{3} \right)}{2} + \pi n, n \in Z;\)

2) \(\frac{\sin{4x}}{\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right)} = \sqrt{2}\left( \sin x + \cos x \right)\)
\(\dfrac{\sin{4x}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left( \sin x - \cos x \right)} = \sqrt{2}\left( \sin x + \cos x \right),\)
\(\sin{4x} = \sin^{2}x - \cos^{2}x,\)

Область определения: \(\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) \neq 0\), \(x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in Z\);

\(\sin{4x} + \cos{2x} = 0,\)
\(\cos{2x}\left( 2\sin{2x} + 1 \right) = 0,\)
\(\cos{2x} = 0\) или \(\sin{2x} = - \frac{1}{2}\)
\(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\), из них \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\) – не входит в область определения,
\(x_{1} = - \dfrac{\pi}{4} + \pi n,\)
\(x_{2} = \dfrac{(-1)^{n + 1}\pi}{12} + \dfrac{\pi n}{2}, n \in Z.\)