Страница 30 номер 107, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Равносильны ли неравенства: 1) \(\frac{1}{x} < 1\) и \(x > 1\); 2) \(x^2 \ge x\) и \(x \ge 1\); 3) \((x + 5)^2 < 0\) и \(|x - 4| < 0\); 4) \(\sqrt{x} \le 0\) и \(x^4 \le 0\)?
Неравенства равносильны, если имеют одинаковые множества решений.
1) \(\frac{1}{x} < 1\) и \(x > 1\)
\(x = - 1\) – решение первого неравенства: \(\frac{1}{- 1} = - 1 < 1\), но не решение второго: \(- 1 > 1\) – неверно.
Неравенства имеют разные множества решений – неравенства неравносильны.
2) \(x^{2} \geqslant x\) и \(x \geqslant 1\)
\(x = 0\) – решение первого неравенства: \(0^{2} \geqslant 0\), но не решение второго: \(0 \geqslant 1\) – неверно.
Неравенства имеют разные множества решений – неравенства неравносильны.
3) \((x + 5)^{2} < 0\) и \(|x - 4| < 0\)
\(\begin{cases} (x + 5)^{2} < 0 \\ |x - 4| < 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} \varnothing \\ \varnothing \end{cases}\)
Ни квадрат числа, ни абсолютная величина числа не могут быть отрицательными, т.е. у обоих неравенств пустое множество решений, таким образом, они равносильны.
4) \(\sqrt{x} \leqslant 0\) и \(x^{4} \leqslant 0\)
\(\begin{cases} \sqrt{x} \leqslant 0 \\ x^{4} \leqslant 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = 0 \end{cases}\)
Оба неравенства имеют только по одному решению, и оно одинаково, следовательно, они равносильны.
Ответ: 1) неравносильны; 2) неравносильны; 3) равносильны; 4) равносильны.
