Страница 120 номер 435, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Неравенство выполняется при всех действительных значениях при условии, если ветви параболы направлены вверх (для знаков \(>\), \(\geqslant\)) или вниз (для знаков \(<\), \(\leqslant\)) и дискриминант его отрицателен, т.е. график функции не имеет пересечений с осью абсцисс. Для нестрогого неравенства подходит и нулевой дискриминант: график касается оси абсцисс.

1) \(x^{2} - 4x + a > 0\)
\(\dfrac{D}{4} = 4 - a < 0\)
\(- a < - 4\)
\(a > 4\)

2) \(x^{2} + (a - 1)x + 1 - a - a^{2} \geqslant 0\)
\(D = (a - 1)^{2} - 4 \cdot \left( 1 - a - a^{2} \right) \leqslant 0\)
\(a^{2} - 2a + 1 - 4 + 4a + 4a^{2} \leqslant 0\)
\(5a^{2} + 2a - 3 \leqslant 0\)
\(\dfrac{D}{4} = 1 + 3 \cdot 5 = 16\)
\(a_{1} = \dfrac{- 1 - 4}{5} = - 1;\ a_{2} = \dfrac{- 1 + 4}{5} = \dfrac{3}{5}\)
\(a \in \left[ - 1;\dfrac{3}{5} \right]\)

3) \(- \frac{1}{4}x^{2} + 5ax - 9a^{2} - 8a < 0\)
\(D = 25a^{2} - 4 \cdot \left( - \dfrac{1}{4} \right) \cdot \left( - 9a^{2} - 8a \right) < 0\)
\(25a^{2} - 9a^{2} - 8a < 0\)
\(16a^{2} - 8a < 0\)
\(16a\left( a - \dfrac{1}{2} \right) < 0\)
\(a \in \left( 0;\dfrac{1}{2} \right)\)

4) \((a - 1)x^{2} - (a + 1)x + a + 1 > 0\) при \(a - 1 > 0\)
\(D = (a + 1)^{2} - 4 \cdot (a - 1)(a + 1) < 0\)
\(a^{2} + 2a + 1 - 4a^{2} + 4 < 0\)
\(- 3a^{2} + 2a + 5 < 0\)
\(\dfrac{D}{4} = 1 + 15 = 16\)
\(a_{1} = \dfrac{- 1 - 4}{- 3} = \dfrac{5}{3};\ a_{2} = \dfrac{- 1 + 4}{- 3} = - 1\)
\(\begin{cases} a > 1 \\ a < - 1;\ a > \frac{5}{3} \end{cases}\ \Rightarrow a > \dfrac{5}{3}\)

При \(a = 1 \Rightarrow - 2x + 2 > 0 \Rightarrow x < 1\), т.е. неравенство выполняется не при всех \(x\).

Ответ: 1) \(a > 4\); 2) \(a \in \left[ - 1;\frac{3}{5} \right]\); 3) \(a \in \left( 0;\frac{1}{2} \right)\); 4) \(a > \frac{5}{3}\).