Страница 119 номер 431, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Решите неравенство: 1) \(|x| \cdot (x^2 + 3x - 10) < 0\); 2) \(\sqrt{x}(x^2 + 2x - 8) \le 0\); 3) \((x - 2)^2(x^2 - 8x - 9) < 0\); 4) \((x + 5)^2(x^2 - 2x - 15) > 0\); 5) \(\frac{x^2 + 7x - 8}{(x - 4)^2} \ge 0\); 6) \(\frac{x^2 + 10x - 11}{(x + 3)^2} \le 0\).
1) \(|x| \cdot \left( x^{2} + 3x - 10 \right) < 0\) \[\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x > 0 \\ x \cdot \left( x^{2} + 3x - 10 \right) < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x < 0 \\ - x\left( x^{2} + 3x - 10 \right) < 0 \end{cases} \end{array} \right.\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x > 0 \\ x^{2} + 3x - 10 < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x < 0 \\ x^{2} + 3x - 10 < 0 \end{cases} \end{array} \right.\ \Rightarrow\] \[\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x > 0 \\ (x - 2)(x + 5) < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x < 0 \\ - 5 < x < 2 \end{cases} \end{array} \right.\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < x < 2 \\ - 5 < x < 0 \end{array} \right.\ \Rightarrow x \in ( - 5;\ 0) \cup (0;\ 2)\]
2) \(\sqrt{x}\left( x^{2} + 2x - 8 \right) \leqslant 0\)
\(\begin{cases} x \geqslant 0 \\ x^{2} + 2x - 8 \leqslant 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x \geqslant 0 \\ (x - 2)(x + 4) \leqslant 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x \geqslant 0 \\ - 4 \leqslant x \leqslant 2 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow 0 \leqslant x \leqslant 2\)
3) \((x - 2)^{2}\left( x^{2} - 8x - 9 \right) < 0\)
\(\begin{cases} x - 2 \neq 0 \\ x^{2} - 8x - 9 < 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x \neq 2 \\ (x + 1)(x - 9) < 0 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} x \in ( - \infty;\ 2) \cup (2; + \infty) \\ x \in ( - 1;\ 9) \end{cases}\ \Rightarrow x \in ( - 1;\ 2) \cup (2;\ 9)\)
4) \((x + 5)^{2}\left( x^{2} - 2x - 15 \right) > 0\)
\(\begin{cases} x + 5 \neq 0 \\ x^{2} - 2x - 15 > 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x \neq - 5 \\ (x + 3)(x - 5) > 0 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} x \in ( - \infty; - 5) \cup ( - 5; + \infty) \\ x \in ( - \infty; - 3) \cup (5; + \infty) \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow x \in ( - \infty; - 5) \cup ( - 5; - 3) \cup (5; + \infty)\)
5) \(\frac{x^{2} + 7x - 8}{(x - 4)^{2}} \geqslant 0\)
\(\left\{ \begin{aligned} &x^{2} + 7x - 8 \geqslant 0 \\ & x - 4 \neq 0 \end{aligned} \right.\ \Rightarrow \begin{cases} (x - 1)(x + 8) \geqslant 0 \\ x \neq 4 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} x \in ( - \infty; - 8] \cup [ 1; + \infty) \\ x \in ( - \infty;\ 4) \cup (4; + \infty) \end{cases}\ \Rightarrow x \in ( - \infty; - 8] \cup [ 1;\ 4) \cup (4; + \infty)\)
6) \(\frac{x^{2} + 10x - 11}{(x + 3)^{2}} \leqslant 0\)
\(\begin{cases} x^{2} + 10x - 11 \leqslant 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} (x - 1)(x + 11) \leqslant 0 \\ x \neq - 3 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} x \in [ - 11;\ 1] \\ x \neq - 3 \end{cases}\ \Rightarrow x \in [ - 11; - 3) \cup ( - 3;\ 1]\)
Ответ: 1) \(x \in ( - 5;\ 0) \cup (0;\ 2)\); 2) \(0 \leqslant x \leqslant 2\); 3) \(x \in ( - 1;\ 2) \cup (2;\ 9)\); 4) \(x \in ( - \infty; - 5) \cup ( - 5; - 3) \cup (5; + \infty)\); 5) \(x \in ( - \infty; - 8] \cup [ 1;\ 4) \cup (4; + \infty)\); 6) \(x \in [ - 11; - 3) \cup ( - 3;\ 1]\).
