Вопросы после параграфа §13 на странице 126, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Системы уравнений с двумя переменными решают такими методами.

1. Графический метод: графики уравнений системы строят в одной системе координат и находят координаты их общих точек.

2. Метод подстановки: из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют полученное выражение в другое уравнение — получается уравнение с одной переменной. Например, из второго уравнения системы \(\begin{cases} x^2 + y = 7, \\ y - x = 1 \end{cases}\) получаем \(y = x + 1\), и первое уравнение принимает вид \(x^2 + x + 1 = 7\), то есть \(x^2 + x - 6 = 0\). Отсюда \(x_1 = -3\), \(x_2 = 2\), тогда \(y_1 = -2\), \(y_2 = 3\); решения системы — \((-3;\ -2)\) и \((2;\ 3)\).

3. Метод сложения: уравнения системы почленно складывают или вычитают (при необходимости предварительно умножив их на подходящие числа) и получают более простое уравнение. Например, сложив уравнения системы \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ x^2 - y^2 = 5, \end{cases}\) получаем \(2x^2 = 18\), \(x^2 = 9\), а вычтя из первого уравнения второе — \(2y^2 = 8\), \(y^2 = 4\). Отсюда \(x = 3\) или \(x = -3\), \(y = 2\) или \(y = -2\), и система имеет четыре решения: \((3;\ 2)\), \((3;\ -2)\), \((-3;\ 2)\), \((-3;\ -2)\).

4. Метод замены переменных: выражения, которые повторяются в уравнениях системы, обозначают новыми переменными и получают более простую систему. Например, в системе \(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1 \end{cases}\) замена \(\frac{1}{x} = u\), \(\frac{1}{y} = v\) даёт систему \(\begin{cases} u + v = 5, \\ u - v = 1, \end{cases}\) откуда \(u = 3\), \(v = 2\), то есть \(x = \frac{1}{3}\), \(y = \frac{1}{2}\). Если система не изменится, когда \(x\) заменить на \(y\), а \(y\) — на \(x\), удобна замена \(x + y = u\), \(xy = v\). Найдя \(u\) и \(v\), получают системы вида \(\begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6, \end{cases}\) которые удобно решать с помощью теоремы, обратной теореме Виета: \(x\) и \(y\) — корни уравнения \(t^2 - 5t + 6 = 0\), то есть числа 2 и 3, а решения системы — \((2;\ 3)\) и \((3;\ 2)\).

Ответ: графический метод, метод подстановки, метод сложения, метод замены переменных.

График уравнения с двумя переменными состоит из всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Решение системы — пара чисел, которая является решением каждого её уравнения, поэтому точка с такими координатами принадлежит графику каждого уравнения, то есть является общей точкой графиков. Значит, чтобы решить систему графически, строят графики её уравнений в одной системе координат и находят координаты их общих точек: сколько у графиков общих точек, столько у системы решений. Графический метод не гарантирует точности результата, поэтому решения, найденные по графикам, проверяют подстановкой в уравнения системы.

Например, решим графически систему

\(\begin{cases} y = x^2, \\ y = x + 2. \end{cases}\)

Графиком первого уравнения является парабола с вершиной \((0;\ 0)\), ветви которой направлены вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки \((-2;\ 0)\) и \((0;\ 2)\). Построим их в одной системе координат.

Графики пересекаются в точках \((-1;\ 1)\) и \((2;\ 4)\). Подстановка подтверждает, что обе пары — решения системы: \((-1)^2 = 1\), \(-1 + 2 = 1\) и \(2^2 = 4\), \(2 + 2 = 4\).

Ответ: графики уравнений системы строят в одной системе координат и находят координаты их общих точек — это и есть решения системы, причём решений столько, сколько общих точек; найденные по графикам решения проверяют подстановкой.

Точные решения графический метод позволяет найти лишь в «удобных» случаях, например когда координаты общих точек графиков оказались целыми числами и их можно проверить подстановкой. Обычно же координаты общих точек находятся по графикам только приближённо. Зато количество общих точек графиков, а значит, и количество решений системы видно сразу. Поэтому графический метод наиболее эффективен, когда нужно определить количество решений системы или когда достаточно найти приближённые значения решений.

Например, определим количество решений системы

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = x^2 - 4. \end{cases}\)

Графиком первого уравнения является окружность с центром \((0;\ 0)\) радиуса 3, графиком второго — парабола с вершиной \((0;\ -4)\), ветви которой направлены вверх. Построим их в одной системе координат.

Окружность и парабола имеют четыре общие точки, значит, система имеет четыре решения. По графикам эти решения находятся только приближённо: примерно \((-2{,}4;\ 1{,}8)\), \((2{,}4;\ 1{,}8)\), \((-1{,}1;\ -2{,}8)\) и \((1{,}1;\ -2{,}8)\).

Ответ: графический метод наиболее эффективен, когда нужно определить количество решений системы или когда достаточно найти приближённые значения решений.