Страница 118 номер 421, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Неравенства равносильны, если имеют одно и то же множество решений.

1) \(x^{2} - 2x - 15 > 0\) и \(x^{2} - 2x - 15 \geqslant 0\)

Левые части неравенств одинаковые, но первое неравенство строгое, а второе – нестрогое. При \(x = 5\) левые части равны нулю, поэтому \(x = 5\) является решением второго неравенства, но не первого. Следовательно, оба неравенства неравносильны.

2) \(\frac{1}{x^{2} - x - 20} < 0\) и \(\frac{1}{x^{2} - x - 20} \leqslant 0\)

Левые части неравенств одинаковые, но первое неравенство строгое, а второе – нестрогое. Дробь \(\frac{1}{x^{2} - x - 20}\) не равна нулю ни при каком \(x\), поэтому второе неравенство выполняется при тех же \(x\), что и первое. Следовательно, оба неравенства равносильны.

3) \(x^{2} - 6x + 10 > 0\) и \(- x^{2} + x - 1 \leqslant 0\)
\(x^{2} - 6x + 10 > 0\) - ветви вверх
\(\frac{D}{4} = 9 - 10 < 0\) нет корней

\(x \in ( - \infty; + \infty)\)
\(- x^{2} + x - 1 \leqslant 0\) - ветви вниз
\(D = 1 + 4 \cdot ( - 1) < 0\)

\(x \in ( - \infty; + \infty)\)

Одинаковые промежутки решения – неравенства равносильны.

4) \(x^{2} + 2x + 3 < 0\) и \(- 2x^{2} - 4 > 0\)
\(x^{2} + 2x + 3 < 0\) - ветви вверх
\(\dfrac{D}{4} = 1 - 3 < 0\)

\(x \in \varnothing\)
\(- 2x^{2} - 4 > 0\) ветви вниз
\(D = 0 + 4 \cdot ( - 2) \cdot 4 < 0\)

\(x \in \varnothing\)

Неравенства равносильны.

Ответ: 1) неравенства неравносильны; 2,3,4) неравенства равносильны.