Страница 120 номер 433, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

\(x^{2} - 2x - 15 = (x + 3)(x - 5)\)
\(\dfrac{D}{4} = 1 + 15 = 16\)
\(x_{1} = 1 - 4 = - 3;\ x_{2} = 1 + 4 = 5\)

1) \((x + 4)\sqrt{x^{2} - 2x - 15} > 0\)
\(\begin{cases} x^{2} - 2x - 15 > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} (x + 3)(x - 5) > 0 \\ x > - 4 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x < - 3;\ x > 5 \\ x > - 4 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow x \in ( - 4; - 3) \cup (5; + \infty)\)

2) \((x + 4)\sqrt{x^{2} - 2x - 15} \geqslant 0\)
\(\begin{cases} x^{2} - 2x - 15 \geqslant 0 \\ x + 4 \geqslant 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} (x + 3)(x - 5) \geqslant 0 \\ x \geqslant - 4 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x \leqslant - 3;\ x \geqslant 5 \\ x \geqslant - 4 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow x \in [ - 4; - 3] \cup [ 5; + \infty)\)

3) \((x + 4)\sqrt{x^{2} - 2x - 15} < 0\)
\(\begin{cases} x^{2} - 2x - 15 > 0 \\ x + 4 < 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} (x + 3)(x - 5) > 0 \\ x < - 4 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x < - 3;\ x > 5 \\ x < - 4 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow x \in ( - \infty; - 4)\)

4) \((x + 4)\sqrt{x^{2} - 2x - 15} \leqslant 0\)
\(x = - 3;\ x = 5 \Rightarrow (x + 4)\sqrt{x^{2} - 2x - 15} = 0\) – неравенство верно.
\(\begin{cases} x^{2} - 2x - 15 \geqslant 0 \\ x + 4 \leqslant 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} (x + 3)(x - 5) \geqslant 0 \\ x \leqslant - 4 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x \leqslant - 3;\ x \geqslant 5 \\ x \leqslant - 4 \end{cases}\ \Rightarrow\) \[\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 3;\ x = 5 \\ x \leqslant - 4 \end{array} \right.\ \Rightarrow x \in ( - \infty; - 4] \cup \{ - 3;\ 5\}\]

Ответ: 1) \(x \in ( - 4; - 3) \cup (5; + \infty)\); 2) \(x \in [ - 4; - 3] \cup [ 5; + \infty)\); 3) \(x \in ( - \infty; - 4)\); 4) \(x \in ( - \infty; - 4] \cup \{ - 3;\ 5\}\).