Страница 120 номер 436, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
При каких значениях \(a\) не имеет решений неравенство: 1) \(-x^2 + 6x - a > 0\); 2) \(x^2 - (a + 1)x + 3a - 5 < 0\); 3) \(ax^2 + (a - 1)x + (a - 1) < 0\)?
1) \(-x^{2} + 6x - a > 0\) – ветви направлены вниз
\(\dfrac{D}{4} = 9 - a \leqslant 0\)
\(- a \leqslant - 9\)
\(a \geqslant 9\)
2) \(x^{2} - (a + 1)x + 3a - 5 < 0\) – ветви направлены вверх
\(D = (a + 1)^{2} - 4 \cdot (3a - 5) \leqslant 0\)
\(a^{2} + 2a + 1 - 12a + 20 \leqslant 0\)
\(a^{2} - 10a + 21 \leqslant 0\)
\((a - 3)(a - 7) \leqslant 0\)
\(a \in [ 3;\ 7]\)
3) \(ax^{2} + (a - 1)x + (a - 1) < 0\) при \(a > 0\)
\(D = (a - 1)^{2} - 4a(a - 1) \leqslant 0\)
\(a^{2} - 2a + 1 - 4a^{2} + 4a \leqslant 0\)
\(- 3a^{2} + 2a + 1 \leqslant 0\)
\(\dfrac{D}{4} = 1 + 3 = 2^{2}\)
\(a_{1} = \dfrac{- 1 - 2}{- 3} = 1;\ a_{2} = \dfrac{- 1 + 2}{- 3} = - \dfrac{1}{3}\)
\(a \in \left( - \infty; - \dfrac{1}{3} \right] \cup [ 1; + \infty)\)
\(\begin{cases} a > 0 \\ a \in \left( - \infty; - \frac{1}{3} \right] \cup [ 1; + \infty) \end{cases}\ \Rightarrow a \in [ 1; + \infty)\)
При \(a = 0 \Rightarrow - x - 1 < 0 \Rightarrow x > - 1\) – решения есть; при \(a < 0\) ветви направлены вниз – решения тоже есть.
Ответ: 1) \(a \geqslant 9\); 2) \(a \in [ 3;\ 7]\); 3) \(a \in [ 1; + \infty)\).
