Вопросы после параграфа §12 на странице 115, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Левая часть квадратного неравенства — квадратный трёхчлен \(ax^2 + bx + c\) с переменной \(x\), правая часть — нуль, а знак неравенства — любой из четырёх: \(>\), \(<\), \(\geqslant\), \(\leqslant\). Условие \(a \ne 0\) обязательно: при \(a = 0\) слагаемое с \(x^2\) пропадает, и неравенство становится линейным.

Например, квадратными являются неравенства \(x^2 - 5x + 6 < 0\) (здесь \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)) и \(-2x^2 + 3x \geqslant 0\) (здесь \(a = -2\), \(b = 3\), \(c = 0\)), а неравенство \(4x - 7 > 0\) квадратным не является.

Ответ: квадратными называют неравенства вида \(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c < 0\), \(ax^2 + bx + c \geqslant 0\), \(ax^2 + bx + c \leqslant 0\), где \(x\) — переменная, \(a\), \(b\) и \(c\) — некоторые числа, причём \(a \ne 0\).

Знак старшего коэффициента \(a\) определяет направление ветвей параболы: при \(a > 0\) ветви направлены вверх, при \(a < 0\) — вниз. Дискриминант \(D\) определяет количество нулей функции \(y = ax^2 + bx + c\), то есть количество общих точек параболы с осью абсцисс: при \(D > 0\) их две, при \(D = 0\) — одна, при \(D < 0\) общих точек нет.

Например, для параболы \(y = -x^2 + 4x - 5\) имеем \(a = -1 < 0\) и \(D = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 16 - 20 = -4 < 0\): ветви направлены вниз, общих точек с осью абсцисс нет, поэтому вся парабола лежит ниже оси абсцисс.

Два знака числа \(a\) и три случая для \(D\) дают \(2 \cdot 3 = 6\) случаев расположения параболы. Изобразим их схематически (\(x_1\) и \(x_2\) — нули функции, \(x_0\) — абсцисса вершины параболы).

1) \(a > 0\), \(D > 0\) — ветви параболы направлены вверх, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках \(x_1\) и \(x_2\), её вершина лежит ниже оси абсцисс.

2) \(a > 0\), \(D = 0\) — ветви параболы направлены вверх, парабола касается оси абсцисс своей вершиной в точке \(x_0\), остальные точки параболы лежат выше оси абсцисс.

3) \(a > 0\), \(D < 0\) — ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси абсцисс и не имеет с ней общих точек.

4) \(a < 0\), \(D > 0\) — ветви параболы направлены вниз, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках \(x_1\) и \(x_2\), её вершина лежит выше оси абсцисс.

5) \(a < 0\), \(D = 0\) — ветви параболы направлены вниз, парабола касается оси абсцисс своей вершиной в точке \(x_0\), остальные точки параболы лежат ниже оси абсцисс.

6) \(a < 0\), \(D < 0\) — ветви параболы направлены вниз, вся парабола лежит ниже оси абсцисс и не имеет с ней общих точек.

Ответ: возможны шесть случаев. При \(a > 0\) ветви параболы направлены вверх, при \(a < 0\) — вниз. При \(D > 0\) парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, при \(D = 0\) касается её своей вершиной, при \(D < 0\) не имеет с ней общих точек и лежит целиком выше оси абсцисс (при \(a > 0\)) или целиком ниже неё (при \(a < 0\)).