Страница 99 номер 357, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

1) \(f(x) = 4x^{2} - 8x + 3\)

Вершина параболы: \(x_{0} = - \frac{b}{2a} = - \frac{- 8}{2 \cdot 4} = 1\)

\(y_{0} = f\left( x_{0} \right) = 4 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1\)

Т.к. \(a = 4 > 0\), ветви параболы направлены вверх.

При этом промежуток убывания \(x \in \left( - \infty;\ x_{0} \right];\ x \in ( - \infty;\ 1]\),

Промежуток возрастания \(x \in \left[ x_{0}; + \infty \right);\ x \in [ 1; + \infty)\).

Область значений \(E(f) = \left[ y_{0}; + \infty \right);\ E(f) = [ - 1; + \infty)\)

2) \(f(x) = - \frac{1}{5}x^{2} + 2x - 6\)

Вершина параболы: \(x_{0} = - \frac{b}{2a} = - \frac{2}{2 \cdot \left( - \frac{1}{5} \right)} = 5\)

\(y_{0} = f\left( x_{0} \right) = - \dfrac{1}{5}5^{2} + 2 \cdot 5 - 6 = - 5 + 10 - 6 = - 1\)

Т.к. \(a = - \frac{1}{5} < 0\), ветви параболы направлены вниз.

При этом промежуток возрастания \(x \in \left( - \infty;\ x_{0} \right];\ x \in ( - \infty;\ 5]\),

Промежуток убывания \(x \in \left[ x_{0}; + \infty \right);\ x \in [ 5; + \infty)\).

Область значений \(E(f) = \left( - \infty;\ y_{0} \right];\ E(f) = ( - \infty; - 1]\)

3) \(f(x) = 4 - 12x - 0{,}3x^{2}\)

Вершина параболы: \(x_{0} = - \frac{b}{2a} = - \frac{- 12}{2 \cdot ( - 0{,}3)} = - 20\)

\(y_{0} = f\left( x_{0} \right) = 4 - 12 \cdot ( - 20) - 0{,}3 \cdot ( - 20)^{2} = 4 + 240 - 120 =\)
\(= 124\)

Т.к. \(a = - 0{,}3 < 0\), ветви параболы направлены вниз.

При этом промежуток возрастания

\(x \in \left( - \infty;\ x_{0} \right];\ x \in ( - \infty; - 20]\),

Промежуток убывания

\(x \in \left[ x_{0}; + \infty \right);\ x \in [ - 20; + \infty)\).

Область значений \(E(f) = \left( - \infty;\ y_{0} \right];\ E(f) = ( - \infty;\ 124]\)

4) \(f(x) = 7x^{2} + 21x\)

Вершина параболы: \(x_{0} = - \frac{b}{2a} = - \frac{21}{2 \cdot 7} = - \frac{3}{2}\)

\(y_{0} = f\left( x_{0} \right) = 7 \cdot \left( - \dfrac{3}{2} \right)^{2} + 21 \cdot \left( - \dfrac{3}{2} \right) = 7 \cdot \dfrac{9}{4} - 21 \cdot \dfrac{3}{2} =\)
\(= \dfrac{63 - 2 \cdot 21 \cdot 3}{4} = \dfrac{63 - 126}{4} = - \dfrac{63}{4}\)

Т.к. \(a = 7 > 0\), ветви параболы направлены вверх.

При этом промежуток убывания \(x \in \left( - \infty;\ x_{0} \right];\ x \in \left( - \infty; - \frac{3}{2} \right]\),

Промежуток возрастания \(x \in \left[ x_{0}; + \infty \right);\ x \in \left[ - \frac{3}{2}; + \infty \right)\).

Область значений \(E(f) = \left[ y_{0}; + \infty \right);\ E(f) = \left[ - \frac{63}{4}; + \infty \right)\)

Ответ: 1) Промежуток убывания \(x \in ( - \infty;\ 1]\); Промежуток возрастания \(x \in [ 1; + \infty)\); Область значений \(\ E(f) = [ - 1; + \infty)\); 2) Промежуток возрастания \(\ x \in ( - \infty;\ 5]\); Промежуток убывания \(x \in [ 5; + \infty)\); Область значений \(E(f) = ( - \infty; - 1]\); 3) Промежуток возрастания \(x \in ( - \infty; - 20]\); Промежуток убывания \(x \in [ - 20; + \infty)\); Область значений \(\ E(f) = ( - \infty;\ 124]\); 4) Промежуток убывания \(\ x \in \left( - \infty; - \frac{3}{2} \right]\); Промежуток возрастания \(x \in \left[ - \frac{3}{2}; + \infty \right)\); Область значений \(\ E(f) = \left[ - \frac{63}{4}; + \infty \right)\).