Страница 93 номер 339, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите, что при положительных значениях \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \(a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2\).
\(a > 0,b > 0 \Rightarrow a + b > 0\)
Первый способ
\(a^{3} + b^{3} \geqslant a^{2}b + ab^{2}\)
\(a^{3} - a^{2}b + b^{3} - ab^{2} \geqslant 0\)
\(a^{2}(a - b) + b^{2}(b - a) \geqslant 0\)
\(a^{2}(a - b) - b^{2}(a - b) \geqslant 0\)
\(\left( a^{2} - b^{2} \right)(a - b) \geqslant 0\)
\((a - b)(a + b)(a - b) \geqslant 0\)
\((a - b)^{2}(a + b) \geqslant 0\)
Квадрат любого числа неотрицателен и сумма положительных чисел положительна, следовательно, их произведение неотрицательно.
Второй способ
\(a^{3} + b^{3} \geqslant a^{2}b + ab^{2}\)
\((a + b)\left( a^{2} - ab + b^{2} \right) \geqslant ab(a + b)\)
Т.к. \(a + b > 0\), можно сократить
\(a^{2} - ab + b^{2} \geqslant ab\)
\(a^{2} - 2ab + b^{2} \geqslant 0\)
\((a - b)^{2} \geqslant 0\)
Квадрат любого числа неотрицателен.
