Вопросы после параграфа §11 на странице 97, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

В формуле квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\) буква \(x\) обозначает независимую переменную, числа \(a\), \(b\) и \(c\) — коэффициенты, причём коэффициент \(a\) при \(x^2\) не равен нулю. При \(a = 0\) формула задаёт уже линейную функцию \(y = bx + c\). Коэффициенты \(b\) и \(c\) могут быть равны нулю.

Например, квадратичными являются функции \(y = 3x^2 - 5x + 2\) (здесь \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = 2\)), \(y = x^2 - 9\) (\(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -9\)) и \(y = -\frac{1}{2}x^2\) (\(a = -\frac{1}{2}\), \(b = 0\), \(c = 0\)). Функция \(y = (x - 1)^2 + 4\) тоже квадратичная: её можно задать формулой \(y = x^2 - 2x + 5\), так как \((x - 1)^2 + 4 = x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 2x + 5\). А функция \(y = 4x + 1\) квадратичной не является: в её формуле нет слагаемого с \(x^2\).

Ответ: квадратичной называют функцию, которую можно задать формулой вида \(y = ax^2 + bx + c\), где \(x\) — независимая переменная, \(a\), \(b\) и \(c\) — некоторые числа, причём \(a \ne 0\).

Выделив квадрат двучлена, формулу квадратичной функции можно преобразовать так:

\(ax^2 + bx + c = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a}.\)

Обозначим \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), \(y_0 = \frac{4ac - b^2}{4a}\); тогда \(y = a(x - x_0)^2 + y_0\). Значит, график функции \(y = ax^2 + bx + c\) получают из параболы \(y = ax^2\) двумя параллельными переносами: на \(|x_0|\) единиц вдоль оси абсцисс (вправо, если \(x_0 > 0\), и влево, если \(x_0 < 0\)) и на \(|y_0|\) единиц вдоль оси ординат (вверх, если \(y_0 > 0\), и вниз, если \(y_0 < 0\)). При параллельном переносе получается фигура, равная исходной, поэтому графиком квадратичной функции является парабола, равная параболе \(y = ax^2\), с вершиной в точке \((x_0;\ y_0)\).

Например, для функции \(y = x^2 - 6x + 5\) имеем:

\(x^2 - 6x + 5 = x^2 - 6x + 9 - 4 = (x - 3)^2 - 4.\)

Графиком этой функции является парабола, равная параболе \(y = x^2\), с вершиной \((3;\ -4)\); она получается переносом параболы \(y = x^2\) на 3 единицы вправо и на 4 единицы вниз.

Ответ: парабола, равная параболе \(y = ax^2\), с вершиной в точке \((x_0;\ y_0)\), где \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), \(y_0 = \frac{4ac - b^2}{4a}\).

Абсциссу вершины параболы \(y = ax^2 + bx + c\) находят по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). Ординату вершины находят по формуле \(y_0 = \frac{4ac - b^2}{4a}\) или как значение функции в точке \(x_0\). Обе формулы получаются, если выделить квадрат двучлена и записать формулу функции в виде \(y = a(x - x_0)^2 + y_0\).

Например, для функции \(f(x) = 2x^2 - 8x + 1\) имеем \(a = 2\), \(b = -8\). Абсцисса вершины \(x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2\), ордината вершины \(y_0 = f(2) = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 1 = -7\). Вершина параболы — точка \((2;\ -7)\).

Ответ: \(x_0 = -\frac{b}{2a}\).

Осью симметрии параболы \(y = ax^2 + bx + c\) является прямая, которая проходит через вершину параболы и перпендикулярна оси абсцисс. Абсцисса вершины равна \(-\frac{b}{2a}\), поэтому осью симметрии является прямая \(x = -\frac{b}{2a}\). Точки параболы, абсциссы которых одинаково удалены от абсциссы вершины, симметричны относительно этой прямой и имеют равные ординаты.

Например, для функции \(f(x) = -x^2 + 6x - 2\) абсцисса вершины \(x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3\), поэтому осью симметрии параболы является прямая \(x = 3\). Точки параболы с абсциссами 1 и 5 симметричны относительно этой прямой, и их ординаты равны: \(f(1) = -1 + 6 - 2 = 3\), \(f(5) = -25 + 30 - 2 = 3\).

Ответ: прямая \(x = -\frac{b}{2a}\), проходящая через вершину параболы перпендикулярно оси абсцисс.

Парабола \(y = ax^2 + bx + c\) равна параболе \(y = ax^2\) и получается из неё параллельными переносами, поэтому её ветви направлены так же, как ветви параболы \(y = ax^2\): если \(a > 0\), то ветви направлены вверх, если \(a < 0\), то вниз. Коэффициенты \(b\) и \(c\) на направление ветвей не влияют.

Например, ветви параболы \(y = 3x^2 - x - 10\) направлены вверх, так как \(a = 3 > 0\), а ветви параболы \(y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x\) направлены вниз, так как \(a = -\frac{1}{2} < 0\).

Ответ: если \(a > 0\), ветви параболы направлены вверх; если \(a < 0\) — вниз.

График квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\) можно получить из параболы \(y = ax^2\) параллельными переносами на \(|x_0|\) единиц вдоль оси абсцисс и на \(|y_0|\) единиц вдоль оси ординат, где \((x_0;\ y_0)\) — вершина параболы. Но строить его можно и без параллельных переносов, по такой схеме:

1) найти абсциссу вершины параболы по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\);
2) найти ординату вершины по формуле \(y_0 = \frac{4ac - b^2}{4a}\) (или как значение функции в точке \(x_0\)) и отметить вершину на координатной плоскости;
3) определить направление ветвей параболы: вверх при \(a > 0\), вниз при \(a < 0\);
4) вычислить координаты нескольких точек графика, в частности точек пересечения с осью абсцисс (если функция имеет нули) и точки пересечения с осью ординат, и отметить эти точки на координатной плоскости;
5) провести через все отмеченные точки плавную непрерывную линию.

Построим по этой схеме график функции \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).

Абсцисса вершины \(x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\), ордината вершины \(y_0 = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1\), вершина параболы — точка \((2;\ -1)\). Так как \(a = 1 > 0\), ветви параболы направлены вверх.

Найдём нули функции, для этого решим уравнение:

\(x^2 - 4x + 3 = 0;\)
\(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4\), \(x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\).

Парабола пересекает ось абсцисс в точках \((1;\ 0)\) и \((3;\ 0)\), а ось ординат — в точке \((0;\ 3)\), так как \(f(0) = 3\). Графику принадлежит и точка \((4;\ 3)\), симметричная точке \((0;\ 3)\) относительно оси симметрии \(x = 2\): \(f(4) = 16 - 16 + 3 = 3\).

Отметим найденные точки на координатной плоскости и проведём через них плавную непрерывную линию.

Ответ: найти координаты вершины параболы \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), \(y_0 = \frac{4ac - b^2}{4a}\) и отметить вершину; определить направление ветвей по знаку \(a\); найти координаты нескольких точек графика, в том числе точек пересечения с осями координат, и отметить их; провести через все отмеченные точки плавную непрерывную линию.