Страница 10 номер 29, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите неравенство: 1) \(a^2 + b^2 - 16a + 14b + 114 > 0\); 2) \(x^2 + y^2 + 10 \ge 6x - 2y\); 3) \(c^2 + 5d^2 + 4cd - 4d + 4 \ge 0\).
1) \(a^{2} + b^{2} - 16a + 14b + 114 > 0\)
\(\left( a^{2} - 2 \cdot 8a + 64 \right) + \left( b^{2} + 2 \cdot 7b + 49 \right) + 114 - 64 - 49 > 0\)
\((a - 8)^{2} + (b + 7)^{2} + 1 > 0\)
Сумма чисел, равных или больше 0, и положительного числа больше 0.
2) \(x^{2} + y^{2} + 10 \geqslant 6x - 2y\)
\(x^{2} + y^{2} + 10 - (6x - 2y) = x^{2} + y^{2} + 10 - 6x + 2y =\)
\(= \left( x^{2} - 2 \cdot 3x + 9 \right) + \left( y^{2} + 2y + 1 \right) + 10 - 9 - 1 =\)
\(= (x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} \geqslant 0\)
Значит, \(x^{2} + y^{2} + 10 \geqslant 6x - 2y\).
3) \(c^{2} + 5d^{2} + 4cd - 4d + 4 \geqslant 0\)
\(\left( c^{2} + 4cd + 4d^{2} \right) + \left( d^{2} - 4d + 4 \right) \geqslant 0\)
\((c + 2d)^{2} + (d - 2)^{2} \geqslant 0\)
