9класс
Страница 10 номер 27, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Глава 1. Неравенства. §1. Числовые неравенства. Страница 10. Номер 27
Задание / условие:
Докажите, что неравенство \(\frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} \ge 2\) верно при любом значении переменной.
Решение:
\(\dfrac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} \geqslant 2\)
\(a^{2} \geqslant 0 \Rightarrow a^{2} + 1 > 0\)
Обе части неравенства положительны, поэтому знак разности \(\frac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} - 2\) такой же, как у разности квадратов частей, т.к. \(x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y)\), где \(x + y > 0\).
\(\dfrac{\left( a^{2} + 2 \right)^{2}}{a^{2} + 1} - 4 = \dfrac{a^{4} + 4a^{2} + 4 - 4a^{2} - 4}{a^{2} + 1} = \dfrac{a^{4}}{a^{2} + 1}\)
\(\frac{a^{4}}{a^{2} + 1} \geqslant 0\) верно при любом \(a\), значит, \(\frac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} \geqslant 2\) при любом \(a\).
Решение подготовила Екатерина Копова, учитель математики первой категории
