Страница 9 номер 9, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство: 1) \((p - 3)(p + 4) < p(p + 1)\); 2) \((x + 1)^2 > x(x + 2)\); 3) \((a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8)\); 4) \(y(y + 8) < (y + 4)^2\); 5) \((2a - 5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25\); 6) \(a^2 + 4 \ge 4a\).
1) \((p - 3)(p + 4) < p(p + 1)\)
\((p - 3)(p + 4) - p(p + 1) = p^{2} + p - 12 - p^{2} - p = - 12\)
\(- 12 < 0\) при любом \(p\), значит, \((p - 3)(p + 4) < p(p + 1)\) при любом \(p\).
2) \((x + 1)^{2} > x(x + 2)\)
\((x + 1)^{2} - x(x + 2) = x^{2} + 2x + 1 - x^{2} - 2x = 1\)
\(1 > 0\) при любом \(x\), значит, \((x + 1)^{2} > x(x + 2)\) при любом \(x\).
3) \((a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8)\)
\((a - 5)(a + 2) - (a + 5)(a - 8) = a^{2} - 3a - 10 - a^{2} + 3a + 40 = 30\)
\(30 > 0\) при любом \(a\), значит, \((a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8)\) при любом \(a\).
4) \(y(y + 8) < (y + 4)^{2}\)
\(y(y + 8) - (y + 4)^{2} = y^{2} + 8y - y^{2} - 8y - 16 = - 16\)
\(- 16 < 0\) при любом \(y\), значит, \(y(y + 8) < (y + 4)^{2}\) при любом \(y\).
5) \((2a - 5)^{2} \leqslant 6a^{2} - 20a + 25\)
\((2a - 5)^{2} - (6a^{2} - 20a + 25) = 4a^{2} - 20a + 25 - 6a^{2} + 20a - 25 = - 2a^{2}\)
\(2a^{2} \geqslant 0\) при любом \(a\), значит, \(- 2a^{2} \leqslant 0\) и \((2a - 5)^{2} \leqslant 6a^{2} - 20a + 25\) при любом \(a\).
6) \(a^{2} + 4 \geqslant 4a\)
\(a^{2} + 4 - 4a = a^{2} - 4a + 4 = (a - 2)^{2}\)
\((a - 2)^{2} \geqslant 0\) при любом \(a\), значит, \(a^{2} + 4 \geqslant 4a\) при любом \(a\).
