Страница 10 номер 28, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите неравенство: 1) \(a^2 + b^2 + 6a - 4b + 13 \ge 0\); 2) \(x^2 - 2x + y^2 + 10y + 28 > 0\); 3) \(2m^2 - 6mn + 9n^2 - 6m + 9 \ge 0\); 4) \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c)\); 5) \(a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \ge 4ab\).
1) \(a^{2} + b^{2} + 6a - 4b + 13 \geqslant 0\)
\(a^{2} + 6a + 9 + b^{2} - 4b + 4 \geqslant 0\)
\((a + 3)^{2} + (b - 2)^{2} \geqslant 0\)
Квадрат любого числа всегда больше либо равно 0. Сумма двух таких чисел тоже больше либо равна 0.
2) \(x^{2} - 2x + y^{2} + 10y + 28 > 0\)
\(x^{2} - 2x + 1 + y^{2} + 2 \cdot 5y + 25 + 2 > 0\)
\((x - 1)^{2} + (y + 5)^{2} + 2 > 0\)
Сумма двух чисел, равных или больше 0, и положительного числа всегда положительна.
3) \(2m^{2} - 6mn + 9n^{2} - 6m + 9 \geqslant 0\)
\(\left( m^{2} - 6mn + 9n^{2} \right) + \left( m^{2} - 6m + 9 \right) \geqslant 0\)
\((m - 3n)^{2} + (m - 3)^{2} \geqslant 0\)
Сумма чисел, равных или больше 0, равна или больше 0.
4) \(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12 \geqslant 4(a + b + c)\)
\(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12 - 4(a + b + c) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12 - 4a - 4b - 4c =\)
\(= \left( a^{2} - 4a + 4 \right) + \left( b^{2} - 4b + 4 \right) + \left( c^{2} - 4c + 4 \right) =\)
\(= (a - 2)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 2)^{2} \geqslant 0\)
Сумма чисел, равных или больше 0, равна или больше 0, значит, \(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12 \geqslant 4(a + b + c)\).
5) \(a^{2}b^{2} + a^{2} + b^{2} + 1 \geqslant 4ab\)
\(a^{2}b^{2} + a^{2} + b^{2} + 1 - 4ab = \left( a^{2}b^{2} - 2ab + 1 \right) + \left( a^{2} - 2ab + b^{2} \right) =\)
\(= (ab - 1)^{2} + (a - b)^{2} \geqslant 0\)
Сумма чисел, равных или больше 0, равна или больше 0, значит, \(a^{2}b^{2} + a^{2} + b^{2} + 1 \geqslant 4ab\).
