Страница 9 номер 11, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

1) \(2a^{2} - 8a + 16 > 0\)
\(2a^{2} - 8a + 16 = 2a^{2} - 8a + 8 + 8 = 2\left( a^{2} - 4a + 4 \right) + 8 = 2(a - 2)^{2} + 8\)
\((a - 2)^{2} \geqslant 0\) при любом \(a\), значит, \(2(a - 2)^{2} + 8 > 0\) и \(2a^{2} - 8a + 16 > 0\) при любом \(a\).

2) \(4b^{2} + 4b + 3 > 0\)
\(4b^{2} + 4b + 3 = 4b^{2} + 4b + 1 + 2 = (2b + 1)^{2} + 2\)
\((2b + 1)^{2} \geqslant 0\) при любом \(b\), значит, \((2b + 1)^{2} + 2 > 0\) и \(4b^{2} + 4b + 3 > 0\) при любом \(b\).

3) \(a^{2} + ab + b^{2} \geqslant 0\)

Допустим, что \(ab\) - положительна, тогда сумма всех положительных чисел всегда равна либо больше 0.

Допустим, что \(ab\) - отрицательна, тогда

\(a^{2} + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} - ab = (a + b)^{2} - ab > 0\)

Квадрат любого числа всегда больше отрицательного числа.

Допустим, что \(ab = 0\), тогда остаётся сумма квадратов \(a^{2} + b^{2} \geqslant 0\).

4) \((3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^{2} > 3(4a - 12)\)
\(\begin{aligned} &(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^{2} - 3(4a - 12) = {} \\ &= 6a^{2} + 4a - 12a - 8 - \left( 4a^{2} - 20a + 25 \right) - 12a + 36 = 2a^{2} + 3 \end{aligned}\)
\(2a^{2} \geqslant 0\) при любом \(a\), значит, \(2a^{2} + 3 > 0\) и \((3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^{2} > 3(4a - 12)\) при любом \(a\).

5) \(a(a - 3) > 5(a - 4)\)
\(\begin{aligned} &a(a - 3) - 5(a - 4) = a^{2} - 3a - 5a + 20 = a^{2} - 8a + 20 = {} \\ &= a^{2} - 2 \cdot 4a + 16 + 4 = (a - 4)^{2} + 4 \end{aligned}\)
\((a - 4)^{2} \geqslant 0\) при любом \(a\), значит, \((a - 4)^{2} + 4 > 0\) и \(a(a - 3) > 5(a - 4)\) при любом \(a\).

6) \((a - b)(a + 5b) \leqslant (2a + b)(a + 4b) + ab\)
\(\begin{aligned} &(a - b)(a + 5b) - (2a + b)(a + 4b) - ab = {} \\ &= a^{2} - ab + 5ab - 5b^{2} - 2a^{2} - ab - 8ab - 4b^{2} - ab = {} \\ &= - a^{2} - 6ab - 9b^{2} = - (a^{2} + 6ab + 9b^{2}) = - (a + 3b)^{2} \end{aligned}\)
\((a + 3b)^{2} \geqslant 0\) при любых \(a\) и \(b\), значит, \(- (a + 3b)^{2} \leqslant 0\) и \((a - b)(a + 5b) \leqslant (2a + b)(a + 4b) + ab\) при любых \(a\) и \(b\).