Страница 10 номер 26, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Выполняется ли неравенство \(\frac{a^2 + 4}{2} \ge \sqrt{a^2 + 3}\) при всех значениях \(a\)?
\(\dfrac{a^{2} + 4}{2} \geqslant \sqrt{a^{2} + 3}\)
\(\dfrac{a^{2} + 4}{2} - \sqrt{a^{2} + 3} = \dfrac{a^{2} + 4 - 2\sqrt{a^{2} + 3}}{2}\)
Числа \(a^{2} + 4\) и \(2\sqrt{a^{2} + 3}\) положительны, поэтому знак их разности такой же, как у разности их квадратов, т.к. \(x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y)\), где \(x + y > 0\).
\(\left( a^{2} + 4 \right)^{2} - 4(a^{2} + 3) = a^{4} + 8a^{2} + 16 - 4a^{2} - 12 =\)
\(= a^{4} + 4a^{2} + 4 = \left( a^{2} + 2 \right)^{2}\)
\(\left( a^{2} + 2 \right)^{2}\) всегда положительно, т.к. \(a^{2} + 2 > 0\) при любом \(a\). Значит, разность \(\frac{a^{2} + 4}{2} - \sqrt{a^{2} + 3}\) положительна, неравенство выполняется при всех значениях \(a\).
