Страница 9 номер 12, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите неравенство: 1) \(28a - 32 \le 7a^2 - 4\); 2) \(9x^2 - 6xy + 4y^2 \ge 0\); 3) \(3(b - 1) < b(b + 1)\); 4) \((4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^2 + p)\).
1) \(28a - 32 \leqslant 7a^{2} - 4\)
\(\begin{aligned} &28a - 32 - (7a^{2} - 4) = - 7a^{2} + 28a - 28 = {} \\ &= - 7\left( a^{2} - 4a + 4 \right) = - 7\left( a^{2} - 2 \cdot 2a + 2^{2} \right) = - 7(a - 2)^{2} \end{aligned}\)
\((a - 2)^{2} \geqslant 0\) при любом \(a\), значит, \(- 7(a - 2)^{2} \leqslant 0\) и \(28a - 32 \leqslant 7a^{2} - 4\) при любом \(a\).
2) \(9x^{2} - 6xy + 4y^{2} \geqslant 0\)
\((3x)^{2} - 2 \cdot 3xy + (2y)^{2} \geqslant 0\)
\((3x)^{2} - 2 \cdot 3xy + y^{2} + 3y^{2} \geqslant 0\)
\((3x - y)^{2} + 3y^{2} \geqslant 0\)
3) \(3(b - 1) < b(b + 1)\)
\(\begin{aligned} &3(b - 1) - b(b + 1) = 3b - 3 - b^{2} - b = - b^{2} + 2b - 3 = {} \\ &= - (b^{2} - 2b + 1 + 2) = - (b - 1)^{2} - 2 \end{aligned}\)
\((b - 1)^{2} \geqslant 0\) при любом \(b\), значит, \(- (b - 1)^{2} - 2 < 0\) и \(3(b - 1) < b(b + 1)\) при любом \(b\).
4) \((4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^{2} + p)\)
\(\begin{aligned} &(4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) - 3(p^{2} + p) = {} \\ &= 4p^{2} - p + 4p - 1 - \left( p^{2} - 9 \right) - 3p^{2} - 3p = - 1 + 9 = 8 \end{aligned}\)
\(8 > 0\) при любом \(p\), значит, \((4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^{2} + p)\) при любом \(p\).
