Страница 9 номер 13, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите, что: 1) \(a^3 - 6a^2 + a - 6 \ge 0\), если \(a \ge 6\); 2) \(ab + 1 > a + b\), если \(a > 1\) и \(b > 1\); 3) \(\frac{a + 3}{3} + \frac{3a - 2}{4} < a\), если \(a < -6\).
1) \(a^{3} - 6a^{2} + a - 6 \geqslant 0\), если \(a \geqslant 6\)
\(a^{3} - 6a^{2} + a - 6 \geqslant 0\)
\(a^{2}(a - 6) + a - 6 \geqslant 0\)
\(\left( a^{2} + 1 \right)(a - 6) \geqslant 0\)
Первый множитель \(a^{2} + 1 > 0\) всегда
Второй множитель \(a - 6 \geqslant 0\), так как \(a \geqslant 6\)
2) \(ab + 1 > a + b\), если \(a > 1\) и \(b > 1\)
\(ab + 1 - (a + b) = ab + 1 - a - b = a(b - 1) - (b - 1) = (a - 1)(b - 1)\)
\((a - 1)(b - 1) > 0\)
при \(a > 1\) и \(b > 1\) произведение всегда больше 0, значит, \(ab + 1 > a + b\).
3) \(\frac{a + 3}{3} + \frac{3a - 2}{4} < a\), если \(a < - 6\)
\(\dfrac{a + 3}{3} + \dfrac{3a - 2}{4} - a = \dfrac{4(a + 3) + 3(3a - 2) - 12a}{12} =\)
\(= \dfrac{4a + 12 + 9a - 6 - 12a}{12} = \dfrac{a + 6}{12}\)
\(a + 6 < 0\), так как \(a < - 6\), значит, \(\frac{a + 6}{12} < 0\) и \(\frac{a + 3}{3} + \frac{3a - 2}{4} < a\).
