Вопросы после параграфа §2 на странице 14, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Так как \(a > b\) и \(b > c\), то разности \(a - b\) и \(b - c\) — положительные числа. Тогда положительна и их сумма \((a - b) + (b - c) = a - c\). Значит, разность \(a - c\) — положительное число, т. е. \(a > c\).

На координатной прямой это означает: если точка \(A(a)\) лежит правее точки \(B(b)\), а точка \(B(b)\) — правее точки \(C(c)\), то точка \(A(a)\) лежит правее точки \(C(c)\).

Например, \(5 > 2\) и \(2 > -3\), и действительно \(5 > -3\).

Ответ: из чисел \(a\) и \(c\) больше число \(a\), т. е. \(a > c\).

Пусть \(a > b\), а \(c\) — любое число. Разность \((a + c) - (b + c) = a - b\) положительна, значит, \(a + c > b + c\). Так же из \(a < b\) следует \(a + c < b + c\).

Вычитание числа можно заменить прибавлением противоположного числа: \(a - c = a + (-c)\). Поэтому свойство верно и для вычитания одного и того же числа из обеих частей неравенства.

Например, прибавим к обеим частям верного неравенства \(-7 < 2\) число 5:

\(\begin{aligned} -7 &< 2; \qquad | +5 \\ -2 &< 7. \end{aligned}\)

Вычтем из обеих частей того же неравенства число 3:

\(\begin{aligned} -7 &< 2; \qquad | -3 \\ -10 &< -1. \end{aligned}\)

Оба полученных неравенства верны.

Ответ: если \(a > b\) и \(c\) — любое число, то \(a + c > b + c\). Иначе говоря, если к обеим частям верного неравенства прибавить или из обеих его частей вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство.

Пусть неравенство \(a > b + c\) верно. Вычтем из обеих его частей число \(c\):

\(\begin{aligned} a &> b + c; \qquad | -c \\ a - c &> b. \end{aligned}\)

Слагаемое \(c\) перешло из правой части неравенства в левую с противоположным знаком, и неравенство осталось верным.

Например, перенесём в верном неравенстве \(5 - 8 < 1\) слагаемое \(-8\) в правую часть с противоположным знаком: получим \(5 < 1 + 8\), т. е. верное неравенство \(5 < 9\).

Ответ: если любое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив знак слагаемого на противоположный, то получится верное неравенство.

Пусть \(a > b\). Рассмотрим разность \(ac - bc = c(a - b)\): множитель \(a - b\) — положительное число. Если \(c > 0\), то произведение \(c(a - b)\) положительно и \(ac > bc\); если \(c < 0\), то это произведение отрицательно и \(ac < bc\).

Деление на число \(c\) можно заменить умножением на число \(\frac{1}{c}\) того же знака, поэтому то же верно и для деления.

Например, умножим обе части верного неравенства \(6 > 2\) на положительное число 3:

\(\begin{aligned} 6 &> 2; \qquad | \cdot 3 \\ 18 &> 6. \end{aligned}\)

Разделим обе части того же неравенства на отрицательное число \(-2\) и изменим знак неравенства на противоположный:

\(\begin{aligned} 6 &> 2; \qquad | : (-2) \\ -3 &< -1. \end{aligned}\)

Если знак не изменить, получится неверное неравенство \(-3 > -1\).

Ответ: если \(a > b\) и \(c\) — положительное число, то \(ac > bc\); если \(a > b\) и \(c\) — отрицательное число, то \(ac < bc\). Иначе говоря, при умножении или делении обеих частей верного неравенства на одно и то же положительное число знак неравенства сохраняется, а на одно и то же отрицательное число — меняется на противоположный.