Страница 10 номер 23, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите, что неравенство верно для любого значения переменной: 1) \(\frac{a^2}{a^4 + 1} \le \frac{1}{2}\); 2) \(\frac{(5a + 1)^2}{5} \ge 4a\).
1) \(\frac{a^{2}}{a^{4} + 1} \leqslant \frac{1}{2}\)
\(\dfrac{a^{2}}{a^{4} + 1} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2a^{2} - (a^{4} + 1)}{2(a^{4} + 1)} =\)
\(= \dfrac{- a^{4} + 2a^{2} - 1}{2(a^{4} + 1)} = - \dfrac{a^{4} - 2a^{2} + 1}{2(a^{4} + 1)} =\)
\(= - \dfrac{\left( a^{2} - 1 \right)^{2}}{2(a^{4} + 1)}\)
\(- \frac{\left( a^{2} - 1 \right)^{2}}{2(a^{4} + 1)} \leqslant 0\) при всех \(a\), значит, \(\frac{a^{2}}{a^{4} + 1} \leqslant \frac{1}{2}\) при всех \(a\).
2) \(\frac{(5a + 1)^{2}}{5} \geqslant 4a\)
\(\dfrac{(5a + 1)^{2}}{5} - 4a = \dfrac{(5a + 1)^{2} - 20a}{5} = \dfrac{25a^{2} + 10a + 1 - 20a}{5} =\)
\(= \dfrac{25a^{2} - 10a + 1}{5} = \dfrac{(5a - 1)^{2}}{5}\)
\(\frac{(5a - 1)^{2}}{5} \geqslant 0\) при всех \(a\), значит, \(\frac{(5a + 1)^{2}}{5} \geqslant 4a\) при всех \(a\).
