Страница 10 номер 22, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Верно ли неравенство при всех значениях \(a\) и \(b\): 1) \(\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 1} > 1\); 2) \(\frac{a^2 - b^2}{b^2 + 1} > -1\)?
1) \(\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + 1} > 1\)
\(\dfrac{a^{2} - \ b^{2}}{a^{2} + 1} - 1 = \dfrac{a^{2} - b^{2} - a^{2} - 1}{a^{2} + 1} =\)
\(= \dfrac{- (b^{2} + 1)}{a^{2} + 1} = - \dfrac{b^{2} + 1}{a^{2} + 1}\)
Неравенство не выполняется, т.к. квадрат любого числа всегда больше либо равно 0, а отношение двух положительных чисел не может быть отрицательным.
2) \(\frac{a^{2} - b^{2}}{b^{2} + 1} > - 1\)
\(\dfrac{a^{2} - b^{2}}{b^{2} + 1} - ( - 1) = \dfrac{a^{2} - b^{2} + b^{2} + 1}{b^{2} + 1} = \dfrac{a^{2} + 1}{b^{2} + 1} > 0\)
Неравенство выполняется при любых \(a,b\), т.к. квадрат любого числа всегда больше либо равно 0, и отношение двух положительных чисел положительно.
Ответ: 1) Неверное утверждение; 2) Верное утверждение.
