Страница 9 номер 14, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите, что: 1) \(ab(b - a) \le a^3 - b^3\), если \(a \ge b\); 2) \(\frac{a - 1}{2} - \frac{a - 2}{3} > \frac{1}{2}\), если \(a > 2\).
1) \(ab(b - a) \leqslant a^{3} - b^{3}\), если \(a \geqslant b\)
\(ab(b - a) - \left( a^{3} - b^{3} \right) = ab(b - a) + b^{3} - a^{3} =\)
\(= ab(b - a) + (b - a)\left( b^{2} + ab + a^{2} \right) =\)
\(= (b - a)\left( ab + b^{2} + ab + a^{2} \right) = (b - a)(a + b)^{2}\)
Квадрат любого числа всегда равно либо больше 0.
\(b - a \leqslant 0\), так как \(a \geqslant b\), значит, \((b - a)(a + b)^{2} \leqslant 0\) и \(ab(b - a) \leqslant a^{3} - b^{3}\).
2) \(\frac{a - 1}{2} - \frac{a - 2}{3} > \frac{1}{2}\), если \(a > 2\)
\(\dfrac{a - 1}{2} - \dfrac{a - 2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3(a - 1) - 2(a - 2) - 3}{6} =\)
\(= \dfrac{3a - 3 - 2a + 4 - 3}{6} = \dfrac{a - 2}{6}\)
\(a - 2 > 0\), так как \(a > 2\), значит, \(\frac{a - 2}{6} > 0\) и \(\frac{a - 1}{2} - \frac{a - 2}{3} > \frac{1}{2}\).
