Страница 87 номер 135, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Пусть число \(m\) является медианой числового набора. Покажите, что сумма частот всех чисел набора, которые не больше \(m\), не меньше чем 0,5.
Пусть в наборе всего \(N\) чисел, а различные значения, не бо́льшие \(m\), — это \(a_1\), \(a_2\), …, \(a_s\), и значение \(a_1\) встречается в наборе \(N_1\) раз, значение \(a_2\) — \(N_2\) раз, …, значение \(a_s\) — \(N_s\) раз. Тогда всего в наборе \(K = N_1 + N_2 + \ldots + N_s\) чисел, не бо́льших \(m\), а сумма частот этих значений (каждое различное значение входит в сумму один раз) равна \[\frac{N_1}{N} + \frac{N_2}{N} + \ldots + \frac{N_s}{N} = \frac{N_1 + N_2 + \ldots + N_s}{N} = \frac{K}{N}.\]
Число \(m\) — медиана набора, поэтому хотя бы половина чисел набора не больше \(m\): \[\begin{aligned} K &\geqslant \frac{N}{2}; \qquad | : N \\ \frac{K}{N} &\geqslant \frac{1}{2}. \end{aligned}\]
Значит, сумма частот всех чисел набора, которые не больше \(m\), не меньше \(\frac{1}{2} = 0{,}5\), что и требовалось показать.
Ответ: эта сумма частот равна \(\frac{K}{N}\), где \(K\) — количество чисел набора, не бо́льших \(m\); по определению медианы \(K \geqslant \frac{N}{2}\), поэтому \(\frac{K}{N} \geqslant 0{,}5\).
Пусть число \(m\) является медианой числового набора. Покажите, что сумма частот всех чисел набора, которые не больше \(m\), не меньше чем 0,5.
Пусть в наборе всего \(N\) чисел, а различные значения, не бо́льшие \(m\), — это \(a_1\), \(a_2\), …, \(a_s\), и значение \(a_1\) встречается в наборе \(N_1\) раз, значение \(a_2\) — \(N_2\) раз, …, значение \(a_s\) — \(N_s\) раз. Тогда всего в наборе \(K = N_1 + N_2 + \ldots + N_s\) чисел, не бо́льших \(m\), а сумма частот этих значений (каждое различное значение входит в сумму один раз) равна \[\frac{N_1}{N} + \frac{N_2}{N} + \ldots + \frac{N_s}{N} = \frac{N_1 + N_2 + \ldots + N_s}{N} = \frac{K}{N}.\]
Число \(m\) — медиана набора, поэтому, по определению медианы, хотя бы половина чисел набора не больше \(m\). Запишем это неравенством и разделим обе его части на положительное число \(N\): \[\begin{aligned} K &\geqslant \frac{N}{2}; \qquad | : N \\ \frac{K}{N} &\geqslant \frac{1}{2}. \end{aligned}\]
Значит, сумма частот всех чисел набора, которые не больше \(m\), не меньше \(\frac{1}{2} = 0{,}5\), что и требовалось показать.
Ответ: эта сумма частот равна \(\frac{K}{N}\), где \(K\) — количество чисел набора, не бо́льших \(m\); по определению медианы \(K \geqslant \frac{N}{2}\), поэтому \(\frac{K}{N} \geqslant 0{,}5\).
