Страница 72 номер 120, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Банк предлагает срочный вклад на 5 лет на следующих условиях: если владелец не производит никаких операций (не забирает и не кладёт деньги), то в конце каждого года сумма вклада увеличивается на некоторое количество процентов (годовая процентная ставка). После первого года ставка равна 2 %, после второго — 3 %, а после третьего и каждого последующего года — 5 %. а) Найдите среднюю ставку за 5 лет в процентах (округлите до сотых). б) Найдите сумму вклада по истечении 5 лет, если сначала владелец положил на счёт 20 000 р.
Дано:
\(p_1 = 2\,\%\) — ставка за 1-й год
\(p_2 = 3\,\%\) — ставка за 2-й год
\(p_3 = p_4 = p_5 = 5\,\%\) — ставки за 3-й, 4-й и 5-й годы
\(S_0 = 20\,000\) р. — первоначальная сумма вклада
Найти: а) среднюю ставку за 5 лет; б) сумму вклада через 5 лет.
Решение: За 5 лет первоначальная сумма последовательно умножается на пять коэффициентов, то есть на их произведение: \[1{,}02 \cdot 1{,}03 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 = 1{,}216200825.\]
а) Средняя ставка — такая неизменная годовая ставка, при которой вклад за 5 лет вырос бы во столько же раз. Её коэффициент \(k\) — среднее геометрическое пяти коэффициентов: \(k^5 = 1{,}216200825\), \(k = \sqrt[5]{1{,}216200825} = 1{,}03992\ldots\), то есть вклад в среднем увеличивался на \(3{,}992\ldots\,\% \approx 3{,}99\,\%\) в год.
б) Сумму вклада считаем по точному произведению коэффициентов, а не по округлённой средней ставке: \[20\,000 \cdot 1{,}216200825 = 24\,324{,}0165 \text{ (р.)}.\]
С точностью до копейки это \(24\,324\) р. 2 к.
Ответ: а) \(\approx 3{,}99\,\%\); б) \(24\,324\) р. 2 к.
Банк предлагает срочный вклад на 5 лет на следующих условиях: если владелец не производит никаких операций (не забирает и не кладёт деньги), то в конце каждого года сумма вклада увеличивается на некоторое количество процентов (годовая процентная ставка). После первого года ставка равна 2 %, после второго — 3 %, а после третьего и каждого последующего года — 5 %. а) Найдите среднюю ставку за 5 лет в процентах (округлите до сотых). б) Найдите сумму вклада по истечении 5 лет, если сначала владелец положил на счёт 20 000 р.
Дано:
\(p_1 = 2\,\%\) — ставка за 1-й год
\(p_2 = 3\,\%\) — ставка за 2-й год
\(p_3 = p_4 = p_5 = 5\,\%\) — ставки за 3-й, 4-й и 5-й годы
\(S_0 = 20\,000\) р. — первоначальная сумма вклада
Найти: а) среднюю ставку за 5 лет; б) сумму вклада через 5 лет.
Решение: При годовой ставке \(2\,\%\) сумма вклада за год умножается на коэффициент \(1{,}02\), при ставке \(3\,\%\) — на \(1{,}03\), при ставке \(5\,\%\) — на \(1{,}05\). За 5 лет первоначальная сумма последовательно умножается на пять коэффициентов, то есть на их произведение: \[1{,}02 \cdot 1{,}03 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 = 1{,}216200825.\]
а) Средняя ставка — такая неизменная годовая ставка, при которой вклад за 5 лет вырос бы во столько же раз. Её коэффициент \(k\) — среднее геометрическое пяти коэффициентов: \(k^5 = 1{,}216200825\), \(k = \sqrt[5]{1{,}216200825} = 1{,}03992\ldots\), то есть вклад в среднем увеличивался на \(3{,}992\ldots\,\% \approx 3{,}99\,\%\) в год.
б) Сумму вклада считаем по точному произведению коэффициентов, а не по округлённой средней ставке: \[20\,000 \cdot 1{,}216200825 = 24\,324{,}0165 \text{ (р.)}.\]
С точностью до копейки это \(24\,324\) р. 2 к.
Ответ: а) \(\approx 3{,}99\,\%\); б) \(24\,324\) р. 2 к.
