Страница 213 номер 395, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Для наборов, данных в предыдущей задаче, измените правило: выбросами считайте те значения, которые не попадают в интервал от \(\overline{x} - 2S\) до \(\overline{x} + 2S\), где \(\overline{x}\) — среднее арифметическое, а \(S\) — стандартное отклонение. «Усы» при этом следует откладывать не от краёв ящика, а от среднего арифметического. Сравните результаты, полученные при новом правиле, с результатами предыдущей задачи.
Усы откладываются от среднего арифметического на \(2S\) в каждую сторону, а ящик по-прежнему тянется от первого квартиля до третьего. Квартили — по определению: не больше \(K_1\) — хотя бы \(25\,\%\) значений, не меньше — хотя бы \(75\,\%\); у третьего квартиля — наоборот.
а) Упорядоченный набор: 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 12 — 13 чисел. Первый квартиль — четвёртое число, \(K_1 = 1\); третий — четвёртое число с конца, \(K_3 = 3\); медиана — седьмое число, 2. По правилу «четыре межквартильных размаха»: межквартильный размах \(3 - 1 = 2\), концы усов \(1 - 1{,}5 \cdot 2 = -2\) и \(3 + 1{,}5 \cdot 2 = 6\), выброс — 12.
По новому правилу: \(\overline{x} = \frac{35}{13} \approx 2{,}69\), средний квадрат \(\overline{x^2} = \frac{0 + 1 \cdot 4 + 4 \cdot 4 + 9 \cdot 2 + 25 + 144}{13} = \frac{207}{13}\);
\[\begin{aligned} S^2 &= \frac{207}{13} - \left(\frac{35}{13}\right)^2 = \frac{2691 - 1225}{169} = \frac{1466}{169}; \\ S &= \sqrt{\frac{1466}{169}} = \frac{\sqrt{1466}}{13} \approx 2{,}95. \end{aligned}\]
Границы интервала: \(\overline{x} - 2S = \frac{35 - 2\sqrt{1466}}{13} \approx -3{,}20\), \(\overline{x} + 2S = \frac{35 + 2\sqrt{1466}}{13} \approx 8{,}58\). Вне интервала — только 12, так как \(12 > 8{,}58\). Выброс тот же — 12.
б) Упорядоченный набор: \(-8\), \(-5\), \(-4\), \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-2\), \(-1\), 0, 4 — 10 чисел. Первый квартиль — третье число, \(K_1 = -4\); третий — третье число с конца, \(K_3 = -1\); медиана — среднее арифметическое пятого и шестого чисел, \(-2{,}5\). По правилу «четыре межквартильных размаха»: межквартильный размах \(-1 - (-4) = 3\), концы усов \(-4 - 1{,}5 \cdot 3 = -8{,}5\) и \(-1 + 1{,}5 \cdot 3 = 3{,}5\), выброс — 4.
По новому правилу: \(\overline{x} = \frac{-25}{10} = -2{,}5\), средний квадрат \(\overline{x^2} = \frac{64 + 25 + 16 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 16}{10} = \frac{155}{10} = 15{,}5\);
\[\begin{aligned} S^2 &= 15{,}5 - (-2{,}5)^2 = 15{,}5 - 6{,}25 = 9{,}25; \\ S &= \sqrt{9{,}25} \approx 3{,}04. \end{aligned}\]
Границы интервала: \(\overline{x} - 2S = -2{,}5 - 2\sqrt{9{,}25} \approx -8{,}58\), \(\overline{x} + 2S = -2{,}5 + 2\sqrt{9{,}25} \approx 3{,}58\). Вне интервала — только 4, так как \(4 > 3{,}58\), а \(-8 > -8{,}58\). Выброс тот же — 4.
в) Упорядоченный набор: 741, 741, 742, 743, 743, 743, 743, 745, 751, 760, 767 — 11 чисел. Первый квартиль — третье число, \(K_1 = 742\); третий — третье число с конца, \(K_3 = 751\); медиана — шестое число, 743. По правилу «четыре межквартильных размаха»: межквартильный размах \(751 - 742 = 9\), концы усов \(742 - 1{,}5 \cdot 9 = 728{,}5\) и \(751 + 1{,}5 \cdot 9 = 764{,}5\), выброс — 767.
По новому правилу уменьшим все числа набора на 740 — дисперсия от этого не изменится, а среднее арифметическое уменьшится на 740: 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 11, 20, 27. Сумма этих чисел \(1 + 1 + 2 + 3 \cdot 4 + 5 + 11 + 20 + 27 = 79\), сумма их квадратов \(1 + 1 + 4 + 9 \cdot 4 + 25 + 121 + 400 + 729 = 1317\), поэтому
\[\begin{aligned} S^2 &= \frac{1317}{11} - \left(\frac{79}{11}\right)^2 = \frac{14\,487 - 6241}{121} = \frac{8246}{121}; \\ S &= \sqrt{\frac{8246}{121}} = \frac{\sqrt{8246}}{11} \approx 8{,}26. \end{aligned}\]
Среднее арифметическое исходного набора \(\overline{x} = 740 + \frac{79}{11} = \frac{8219}{11} \approx 747{,}18\). Границы интервала: \(\overline{x} - 2S = \frac{8219 - 2\sqrt{8246}}{11} \approx 730{,}67\), \(\overline{x} + 2S = \frac{8219 + 2\sqrt{8246}}{11} \approx 763{,}69\). Вне интервала — только 767, так как \(767 > 763{,}69\), а \(760 < 763{,}69\). Выброс тот же — 767.
Значит, если квартили находить по определению, оба правила дают одни и те же выбросы: в наборе а) — 12, в наборе б) — 4, в наборе в) — 767.
Если же квартили находить функцией КВАРТИЛЬ электронной таблицы, то по правилу «четыре межквартильных размаха» выбросы набора в) — 760 и 767, и при новом правиле 760 перестаёт быть выбросом.
Ответ: с квартилями, найденными по определению, результаты совпадают — и по новому правилу, и по правилу «четыре межквартильных размаха» выбросы: а) 12; б) 4; в) 767; с квартилями из электронной таблицы в наборе в) значение 760 по новому правилу перестаёт быть выбросом.
Для наборов, данных в предыдущей задаче, измените правило: выбросами считайте те значения, которые не попадают в интервал от \(\overline{x} - 2S\) до \(\overline{x} + 2S\), где \(\overline{x}\) — среднее арифметическое, а \(S\) — стандартное отклонение. «Усы» при этом следует откладывать не от краёв ящика, а от среднего арифметического. Сравните результаты, полученные при новом правиле, с результатами предыдущей задачи.
По новому правилу выбросы — значения вне интервала от \(\overline{x} - 2S\) до \(\overline{x} + 2S\): усы откладываются от среднего арифметического на \(2S\) в каждую сторону, а ящик по-прежнему тянется от первого квартиля до третьего. Квартили — по определению: не больше \(K_1\) — хотя бы \(25\,\%\) значений, не меньше — хотя бы \(75\,\%\); у третьего квартиля — наоборот. Дисперсию найдём по формуле \(S^2 = \overline{x^2} - \overline{x}^2\), стандартное отклонение \(S = \sqrt{S^2}\).
а) Упорядоченный набор: 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 12 — 13 чисел. Первый квартиль — четвёртое число, \(K_1 = 1\); третий — четвёртое число с конца, \(K_3 = 3\); медиана — седьмое число, 2. По правилу «четыре межквартильных размаха»: межквартильный размах \(3 - 1 = 2\), концы усов \(1 - 1{,}5 \cdot 2 = -2\) и \(3 + 1{,}5 \cdot 2 = 6\), выброс — 12.
По новому правилу: \(\overline{x} = \frac{35}{13} \approx 2{,}69\), средний квадрат \(\overline{x^2} = \frac{0 + 1 \cdot 4 + 4 \cdot 4 + 9 \cdot 2 + 25 + 144}{13} = \frac{207}{13}\);
\[\begin{aligned} S^2 &= \frac{207}{13} - \left(\frac{35}{13}\right)^2 = \frac{2691 - 1225}{169} = \frac{1466}{169}; \\ S &= \sqrt{\frac{1466}{169}} = \frac{\sqrt{1466}}{13} \approx 2{,}95. \end{aligned}\]
Границы интервала: \(\overline{x} - 2S = \frac{35 - 2\sqrt{1466}}{13} \approx -3{,}20\), \(\overline{x} + 2S = \frac{35 + 2\sqrt{1466}}{13} \approx 8{,}58\). Вне интервала — только 12, так как \(12 > 8{,}58\). Выброс тот же — 12.
б) Упорядоченный набор: \(-8\), \(-5\), \(-4\), \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-2\), \(-1\), 0, 4 — 10 чисел. Первый квартиль — третье число, \(K_1 = -4\); третий — третье число с конца, \(K_3 = -1\); медиана — среднее арифметическое пятого и шестого чисел, \(-2{,}5\). По правилу «четыре межквартильных размаха»: межквартильный размах \(-1 - (-4) = 3\), концы усов \(-4 - 1{,}5 \cdot 3 = -8{,}5\) и \(-1 + 1{,}5 \cdot 3 = 3{,}5\), выброс — 4.
По новому правилу: \(\overline{x} = \frac{-25}{10} = -2{,}5\), средний квадрат \(\overline{x^2} = \frac{64 + 25 + 16 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 16}{10} = \frac{155}{10} = 15{,}5\);
\[\begin{aligned} S^2 &= 15{,}5 - (-2{,}5)^2 = 15{,}5 - 6{,}25 = 9{,}25; \\ S &= \sqrt{9{,}25} \approx 3{,}04. \end{aligned}\]
Границы интервала: \(\overline{x} - 2S = -2{,}5 - 2\sqrt{9{,}25} \approx -8{,}58\), \(\overline{x} + 2S = -2{,}5 + 2\sqrt{9{,}25} \approx 3{,}58\). Вне интервала — только 4, так как \(4 > 3{,}58\), а \(-8 > -8{,}58\). Выброс тот же — 4.
в) Упорядоченный набор: 741, 741, 742, 743, 743, 743, 743, 745, 751, 760, 767 — 11 чисел. Первый квартиль — третье число, \(K_1 = 742\); третий — третье число с конца, \(K_3 = 751\); медиана — шестое число, 743. По правилу «четыре межквартильных размаха»: межквартильный размах \(751 - 742 = 9\), концы усов \(742 - 1{,}5 \cdot 9 = 728{,}5\) и \(751 + 1{,}5 \cdot 9 = 764{,}5\), выброс — 767.
По новому правилу уменьшим все числа набора на 740 — дисперсия от этого не изменится, а среднее арифметическое уменьшится на 740: 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 11, 20, 27. Сумма этих чисел \(1 + 1 + 2 + 3 \cdot 4 + 5 + 11 + 20 + 27 = 79\), сумма их квадратов \(1 + 1 + 4 + 9 \cdot 4 + 25 + 121 + 400 + 729 = 1317\), поэтому
\[\begin{aligned} S^2 &= \frac{1317}{11} - \left(\frac{79}{11}\right)^2 = \frac{14\,487 - 6241}{121} = \frac{8246}{121}; \\ S &= \sqrt{\frac{8246}{121}} = \frac{\sqrt{8246}}{11} \approx 8{,}26. \end{aligned}\]
Среднее арифметическое исходного набора \(\overline{x} = 740 + \frac{79}{11} = \frac{8219}{11} \approx 747{,}18\). Границы интервала: \(\overline{x} - 2S = \frac{8219 - 2\sqrt{8246}}{11} \approx 730{,}67\), \(\overline{x} + 2S = \frac{8219 + 2\sqrt{8246}}{11} \approx 763{,}69\). Вне интервала — только 767, так как \(767 > 763{,}69\), а \(760 < 763{,}69\). Выброс тот же — 767.
Значит, если квартили находить по определению, оба правила дают одни и те же выбросы: в наборе а) — 12, в наборе б) — 4, в наборе в) — 767.
Если же квартили находить функцией КВАРТИЛЬ электронной таблицы, то по правилу «четыре межквартильных размаха» выбросы набора в) — 760 и 767, и при новом правиле 760 перестаёт быть выбросом.
Ответ: с квартилями, найденными по определению, результаты совпадают — и по новому правилу, и по правилу «четыре межквартильных размаха» выбросы: а) 12; б) 4; в) 767; с квартилями из электронной таблицы в наборе в) значение 760 по новому правилу перестаёт быть выбросом.
