Страница 8 номер 12, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
На рисунке 11 показано дерево. Рассмотрите цепи, соединяющие начальную вершину \(S\) с концевыми. Сколько таких цепей имеют длину 2; длину 3; длину 4?
В дереве любые две вершины соединены единственной цепью, поэтому от \(S\) к каждой концевой вершине ведёт ровно одна цепь и таких цепей столько же, сколько концевых вершин.
а) От \(S\) идут два ребра — к левой и к правой вершинам. От левой вершины два ребра ведут к концевым вершинам — 2 цепи длины 2. От правой вершины два ребра ведут к концевым вершинам — ещё 2 цепи длины 2, а третье ребро — к вершине под ней, от которой два ребра ведут к концевым вершинам, — 2 цепи длины 3. Цепей длины 4 нет. Всего цепей \(4 + 2 = 6\) — столько же, сколько концевых вершин.
б) От \(S\) идут два ребра — к левой и к правой вершинам.
От левой вершины два ребра ведут к концевым вершинам (2 цепи длины 2), а третье — к вершине, от которой одно ребро ведёт к концевой вершине (цепь длины 3), а другое — к следующей вершине с двумя концевыми (2 цепи длины 4).
От правой вершины одно ребро ведёт к концевой вершине (цепь длины 2), а два — к вершинам, у каждой из которых по две концевые (4 цепи длины 3).
Цепей длины 2: \(2 + 1 = 3\), длины 3: \(1 + 4 = 5\), длины 4: 2. Всего \(3 + 5 + 2 = 10\) цепей — столько же, сколько концевых вершин.
Ответ: а) длины 2 — 4 цепи, длины 3 — 2 цепи, длины 4 — ни одной; б) длины 2 — 3 цепи, длины 3 — 5 цепей, длины 4 — 2 цепи.
На рисунке 11 показано дерево. Рассмотрите цепи, соединяющие начальную вершину \(S\) с концевыми. Сколько таких цепей имеют длину 2; длину 3; длину 4?
Длина цепи — число её рёбер. В дереве любые две вершины соединены единственной цепью, поэтому от \(S\) к каждой концевой вершине ведёт ровно одна цепь и таких цепей столько же, сколько концевых вершин.
а) От \(S\) идут два ребра — к левой и к правой вершинам. От левой вершины два ребра ведут к концевым вершинам — это 2 цепи длины 2. От правой вершины два ребра ведут к концевым вершинам — ещё 2 цепи длины 2, а третье ребро — к вершине под ней, от которой два ребра ведут к концевым вершинам, — это 2 цепи длины 3. Цепей длины 4 нет. Всего цепей \(4 + 2 = 6\) — столько же, сколько концевых вершин.
б) От \(S\) идут два ребра — к левой и к правой вершинам.
От левой вершины два ребра ведут к концевым вершинам (2 цепи длины 2), а третье — к вершине, от которой одно ребро ведёт к концевой вершине (цепь длины 3), а другое — к следующей вершине с двумя концевыми (2 цепи длины 4).
От правой вершины одно ребро ведёт к концевой вершине (цепь длины 2), а два — к вершинам, у каждой из которых по две концевые (4 цепи длины 3).
Цепей длины 2: \(2 + 1 = 3\), длины 3: \(1 + 4 = 5\), длины 4: 2. Всего \(3 + 5 + 2 = 10\) цепей — столько же, сколько концевых вершин.
Ответ: а) длины 2 — 4 цепи, длины 3 — 2 цепи, длины 4 — ни одной; б) длины 2 — 3 цепи, длины 3 — 5 цепей, длины 4 — 2 цепи.
