Страница 8 номер 10, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В дереве 4 вершины. Сколько концевых вершин в нём может быть? Приведите пример дерева для каждого возможного значения.
В конечном дереве вершин на одну больше, чем рёбер, поэтому в дереве с 4 вершинами 3 ребра. Сумма степеней всех вершин равна \(2 \cdot 3 = 6\). Дерево связно и в нём больше одной вершины, поэтому степень каждой вершины не меньше 1.
Если все 4 вершины концевые, то сумма степеней равна 4, а не 6. Если концевых вершин меньше двух, то хотя бы у трёх вершин степень не меньше 2, а у четвёртой — не меньше 1, и сумма степеней не меньше \(2 \cdot 3 + 1 = 7\), а не 6. Значит, концевых вершин 2 или 3.
Оба значения возможны: у цепи из 4 вершин две концевые вершины, а у дерева, в котором одна вершина соединена рёбрами с тремя другими, — три.
Оба графа связные, циклов в них нет, поэтому это деревья с 4 вершинами.
Ответ: 2 или 3.
В дереве 4 вершины. Сколько концевых вершин в нём может быть? Приведите пример дерева для каждого возможного значения.
В конечном дереве вершин на одну больше, чем рёбер, поэтому в дереве с 4 вершинами 3 ребра. Сумма степеней всех вершин вдвое больше числа рёбер, то есть равна \(2 \cdot 3 = 6\). Дерево связно и в нём больше одной вершины, поэтому степень каждой вершины не меньше 1.
Если все 4 вершины концевые, то сумма степеней равна 4, а не 6. Если концевых вершин меньше двух, то хотя бы у трёх вершин степень не меньше 2, а у четвёртой — не меньше 1, и сумма степеней не меньше \(2 \cdot 3 + 1 = 7\), а не 6. Значит, концевых вершин 2 или 3.
Оба значения возможны: у цепи из 4 вершин две концевые вершины, а у дерева, в котором одна вершина соединена рёбрами с тремя другими, — три.
Оба графа связные, циклов в них нет, поэтому это деревья с 4 вершинами.
Ответ: 2 или 3.
