Страница 213 номер 394, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Дан числовой набор. Постройте для него диаграмму «ящик с усами». Пользуясь правилом «четыре межквартильных размаха», найдите выбросы в данном наборе. а) 1, 0, 3, 1, 2, 2, 1, 5, 2, 3, 2, 1, 12; б) \(-8\), \(-4\), \(-4\), \(-3\), \(-5\), 4, 0, \(-1\), \(-2\), \(-2\); в) 741, 743, 741, 742, 745, 760, 767, 751, 743, 743, 743.
Квартили найдём по определению: не больше первого квартиля \(K_1\) должны быть хотя бы \(25\,\%\) значений набора, а не меньше — хотя бы \(75\,\%\); у третьего квартиля \(K_3\) — наоборот.
а) Упорядоченный набор: 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 12 — 13 чисел. \(13 \cdot 0{,}25 = 3{,}25\): не больше первого квартиля должны быть хотя бы 4 числа из 13, не меньше — хотя бы 10; этому отвечает четвёртое число упорядоченного набора: \(K_1 = 1\). Третий квартиль — так же четвёртое число с конца: \(K_3 = 3\). Медиана — седьмое число: 2. Сумма чисел \(0 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 5 + 12 = 35\), среднее арифметическое \(\overline{x} = \frac{35}{13} \approx 2{,}69\).
Межквартильный размах \(K_3 - K_1 = 3 - 1 = 2\), длина каждого уса \(1{,}5 \cdot 2 = 3\); концы усов \(1 - 3 = -2\) и \(3 + 3 = 6\). За концами усов — только число 12, так как \(12 > 6\). Значит, выброс — 12.
б) Упорядоченный набор: \(-8\), \(-5\), \(-4\), \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-2\), \(-1\), 0, 4 — 10 чисел. \(10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5\): не больше первого квартиля должны быть хотя бы 3 числа из 10, не меньше — хотя бы 8; этому отвечает третье число: \(K_1 = -4\). Третий квартиль — третье число с конца: \(K_3 = -1\). Чисел чётное количество, поэтому медиана — среднее арифметическое пятого и шестого чисел: \(\frac{-3 + (-2)}{2} = -2{,}5\). Сумма чисел \(-8 - 5 - 4 - 4 - 3 - 2 - 2 - 1 + 0 + 4 = -25\), среднее арифметическое \(\overline{x} = \frac{-25}{10} = -2{,}5\).
Межквартильный размах \(K_3 - K_1 = -1 - (-4) = 3\), длина каждого уса \(1{,}5 \cdot 3 = 4{,}5\); концы усов \(-4 - 4{,}5 = -8{,}5\) и \(-1 + 4{,}5 = 3{,}5\). За концами усов — только число 4, так как \(4 > 3{,}5\); число \(-8\) лежит на левом усе, так как \(-8 > -8{,}5\). Значит, выброс — 4.
в) Упорядоченный набор: 741, 741, 742, 743, 743, 743, 743, 745, 751, 760, 767 — 11 чисел. \(11 \cdot 0{,}25 = 2{,}75\): не больше первого квартиля должны быть хотя бы 3 числа из 11, не меньше — хотя бы 9; этому отвечает третье число: \(K_1 = 742\). Третий квартиль — третье число с конца: \(K_3 = 751\). Медиана — шестое число: 743. Сумма чисел \(741 \cdot 2 + 742 + 743 \cdot 4 + 745 + 751 + 760 + 767 = 8219\), среднее арифметическое \(\overline{x} = \frac{8219}{11} \approx 747{,}18\).
Межквартильный размах \(K_3 - K_1 = 751 - 742 = 9\), длина каждого уса \(1{,}5 \cdot 9 = 13{,}5\); концы усов \(742 - 13{,}5 = 728{,}5\) и \(751 + 13{,}5 = 764{,}5\). За концами усов — только число 767, так как \(767 > 764{,}5\); число 760 лежит на правом усе, так как \(760 < 764{,}5\). Значит, выброс — 767.
Если квартили найти функцией КВАРТИЛЬ электронной таблицы, получится \(K_1 = 742{,}5\) и \(K_3 = 748\), концы усов \(734{,}25\) и \(756{,}25\), и выбросами окажутся 760 и 767.
Ответ: выбросы: а) 12; б) 4; в) 767 (с квартилями из электронной таблицы — 760 и 767).
Дан числовой набор. Постройте для него диаграмму «ящик с усами». Пользуясь правилом «четыре межквартильных размаха», найдите выбросы в данном наборе. а) 1, 0, 3, 1, 2, 2, 1, 5, 2, 3, 2, 1, 12; б) \(-8\), \(-4\), \(-4\), \(-3\), \(-5\), 4, 0, \(-1\), \(-2\), \(-2\); в) 741, 743, 741, 742, 745, 760, 767, 751, 743, 743, 743.
Квартили найдём по определению: не больше первого квартиля \(K_1\) должны быть хотя бы \(25\,\%\) значений набора, а не меньше — хотя бы \(75\,\%\); у третьего квартиля \(K_3\) — наоборот. Ящик тянется от \(K_1\) до \(K_3\), перегородка — медиана, точка — среднее арифметическое; усы откладываем от краёв ящика на \(1{,}5(K_3 - K_1)\). Выбросы — значения за концами усов.
а) Упорядоченный набор: 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 12 — 13 чисел. \(13 \cdot 0{,}25 = 3{,}25\): не больше первого квартиля должны быть хотя бы 4 числа из 13, не меньше — хотя бы 10; этому отвечает четвёртое число упорядоченного набора: \(K_1 = 1\). Третий квартиль — так же четвёртое число с конца: \(K_3 = 3\). Медиана — седьмое число: 2. Сумма чисел \(0 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 5 + 12 = 35\), среднее арифметическое \(\overline{x} = \frac{35}{13} \approx 2{,}69\).
Межквартильный размах \(K_3 - K_1 = 3 - 1 = 2\), длина каждого уса \(1{,}5 \cdot 2 = 3\); концы усов \(1 - 3 = -2\) и \(3 + 3 = 6\). За концами усов — только число 12, так как \(12 > 6\). Значит, выброс — 12.
б) Упорядоченный набор: \(-8\), \(-5\), \(-4\), \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-2\), \(-1\), 0, 4 — 10 чисел. \(10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5\): не больше первого квартиля должны быть хотя бы 3 числа из 10, не меньше — хотя бы 8; этому отвечает третье число: \(K_1 = -4\). Третий квартиль — третье число с конца: \(K_3 = -1\). Чисел чётное количество, поэтому медиана — среднее арифметическое пятого и шестого чисел: \(\frac{-3 + (-2)}{2} = -2{,}5\). Сумма чисел \(-8 - 5 - 4 - 4 - 3 - 2 - 2 - 1 + 0 + 4 = -25\), среднее арифметическое \(\overline{x} = \frac{-25}{10} = -2{,}5\).
Межквартильный размах \(K_3 - K_1 = -1 - (-4) = 3\), длина каждого уса \(1{,}5 \cdot 3 = 4{,}5\); концы усов \(-4 - 4{,}5 = -8{,}5\) и \(-1 + 4{,}5 = 3{,}5\). За концами усов — только число 4, так как \(4 > 3{,}5\); число \(-8\) лежит на левом усе, так как \(-8 > -8{,}5\). Значит, выброс — 4.
в) Упорядоченный набор: 741, 741, 742, 743, 743, 743, 743, 745, 751, 760, 767 — 11 чисел. \(11 \cdot 0{,}25 = 2{,}75\): не больше первого квартиля должны быть хотя бы 3 числа из 11, не меньше — хотя бы 9; этому отвечает третье число: \(K_1 = 742\). Третий квартиль — третье число с конца: \(K_3 = 751\). Медиана — шестое число: 743. Сумма чисел \(741 \cdot 2 + 742 + 743 \cdot 4 + 745 + 751 + 760 + 767 = 8219\), среднее арифметическое \(\overline{x} = \frac{8219}{11} \approx 747{,}18\).
Межквартильный размах \(K_3 - K_1 = 751 - 742 = 9\), длина каждого уса \(1{,}5 \cdot 9 = 13{,}5\); концы усов \(742 - 13{,}5 = 728{,}5\) и \(751 + 13{,}5 = 764{,}5\). За концами усов — только число 767, так как \(767 > 764{,}5\); число 760 лежит на правом усе, так как \(760 < 764{,}5\). Значит, выброс — 767.
Если квартили найти функцией КВАРТИЛЬ электронной таблицы, получится \(K_1 = 742{,}5\) и \(K_3 = 748\), концы усов \(734{,}25\) и \(756{,}25\), и выбросами окажутся 760 и 767.
Ответ: выбросы: а) 12; б) 4; в) 767 (с квартилями из электронной таблицы — 760 и 767).
