Вопросы после параграфа §54 на странице 213, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 1

Межквартильный размах — разность третьего и первого квартилей: \(K_3 - K_1\). Между первым и третьим квартилями лежит примерно половина значений набора — самые типичные, поэтому межквартильный размах показывает, насколько рассеяны эти значения. На диаграмме «ящик с усами» межквартильный размах — длина ящика.

Ответ: межквартильный размах — разность третьего и первого квартилей, \(K_3 - K_1\).

Ящик строят от первого квартиля \(K_1\) до третьего \(K_3\), а к нему слева и справа пририсовывают усы длиной по полтора межквартильных размаха. Концы усов — числа \(K_1 - 1{,}5(K_3 - K_1)\) и \(K_3 + 1{,}5(K_3 - K_1)\); вместе с ящиком усы составляют интервал длиной четыре межквартильных размаха. Значения, которые лежат за концами усов, — выбросы: они слишком далеко отстоят от остальных значений. Это правило «четыре межквартильных размаха»; оно не единственное — иногда длину усов связывают со стандартным отклонением и откладывают усы от среднего арифметического.

Ответ: выбросы — значения, которые лежат за концами усов, то есть меньше \(K_1 - 1{,}5(K_3 - K_1)\) или больше \(K_3 + 1{,}5(K_3 - K_1)\).

Может. Например: набор 1, 2, 3, 4, 20. В нём 5 чисел, \(5 \cdot 0{,}25 = 1{,}25\) и \(5 \cdot 0{,}75 = 3{,}75\): не больше первого квартиля должны быть хотя бы 2 числа, а не меньше — хотя бы 4, поэтому первый квартиль — второе число, \(K_1 = 2\); так же третий квартиль — второе число с конца, \(K_3 = 4\). Ящик тянется от 2 до 4, а среднее арифметическое \(\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 20}{5} = 6\) лежит правее ящика. Так бывает, когда в наборе есть значения, далеко отстоящие от остальных: они сильно сдвигают среднее арифметическое, а на квартили почти не влияют.

Ответ: может: например, у набора 1, 2, 3, 4, 20 ящик тянется от 2 до 4, а среднее арифметическое равно 6.

Не может. Не больше медианы — хотя бы половина значений набора. Если бы медиана была меньше первого квартиля \(K_1\), то все значения, не меньшие \(K_1\), — а их хотя бы \(75\,\%\) — были бы больше медианы, и не больше медианы осталось бы не больше \(25\,\%\) значений. Значит, медиана не меньше \(K_1\); так же она не больше \(K_3\). Медиана может лишь совпасть с краем ящика: например, у набора 1, 2, 2, 3, 4 первый квартиль — второе число, 2, и медиана — третье число, тоже 2.

Ответ: не может: медиана всегда лежит в ящике, хотя может совпасть с его краем.