Страница 111 номер 160, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Может ли количество вершин нечётной степени в каком-нибудь графе равняться: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4?
а) Может. Например, в треугольнике степени всех вершин равны 2, вершин нечётной степени нет.
б) Не может. У каждого ребра два конца, поэтому сумма степеней всех вершин графа вдвое больше числа рёбер, то есть чётна. Сумма степеней вершин чётной степени тоже чётна, поэтому чётна и сумма степеней вершин нечётной степени. Сумма нечётного количества нечётных чисел нечётна, значит, вершин нечётной степени в любом графе чётное количество, а 1 — число нечётное.
в) Может. Например, в графе из двух вершин, соединённых одним ребром, степени обеих вершин равны 1 — вершин нечётной степени две.
г) Не может: число 3 нечётное, а количество вершин нечётной степени в любом графе чётно.
д) Может. Например, в графе из четырёх вершин и двух рёбер без общих концов степени всех четырёх вершин равны 1.
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) да.
Может ли количество вершин нечётной степени в каком-нибудь графе равняться: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4?
а) Может. Например, в треугольнике — три вершины, каждая соединена ребром с двумя другими, — степени всех вершин равны 2, вершин нечётной степени нет.
б) Не может. У каждого ребра два конца, поэтому сумма степеней всех вершин графа вдвое больше числа рёбер, то есть чётна. Сумма степеней вершин чётной степени тоже чётна, поэтому чётна и сумма степеней вершин нечётной степени. Сумма нечётного количества нечётных чисел нечётна, значит, вершин нечётной степени в любом графе чётное количество, а 1 — число нечётное.
в) Может. Например, в графе из двух вершин, соединённых одним ребром, степени обеих вершин равны 1 — вершин нечётной степени две.
г) Не может: число 3 нечётное, а количество вершин нечётной степени в любом графе чётно.
д) Может. Например, в графе из четырёх вершин и двух рёбер без общих концов степени всех четырёх вершин равны 1.
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) да.
