Страница 111 номер 163, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Докажите, что сумма степеней всех вершин графа вдвое больше числа рёбер в этом графе.
Ребро, соединяющее две разные вершины, увеличивает на 1 степень каждой из них, то есть добавляет к сумме степеней 2. Петля при подсчёте степени считается дважды — она тоже добавляет к сумме 2. Кратные рёбра считаются каждое отдельно, поэтому и каждое из них добавляет к сумме 2.
Значит, если в графе \(m\) рёбер, то сумма степеней всех вершин равна \(2m\), то есть вдвое больше числа рёбер.
Ответ: каждое ребро добавляет к сумме степеней ровно 2, поэтому сумма степеней всех вершин графа вдвое больше числа рёбер.
Докажите, что сумма степеней всех вершин графа вдвое больше числа рёбер в этом графе.
Степень вершины — это число исходящих из неё рёбер, поэтому каждое ребро входит в сумму степеней всех вершин столько раз, сколько у него концов, а у каждого ребра два конца.
Ребро, соединяющее две разные вершины, увеличивает на 1 степень каждой из них, то есть добавляет к сумме степеней 2. Петля соединяет вершину саму с собой и при подсчёте степени считается дважды — она тоже добавляет к сумме 2. Кратные рёбра считаются каждое отдельно, поэтому и каждое из них добавляет к сумме 2.
Значит, если в графе \(m\) рёбер, то сумма степеней всех вершин равна \(2m\), то есть вдвое больше числа рёбер.
Ответ: каждое ребро добавляет к сумме степеней ровно 2, поэтому сумма степеней всех вершин графа вдвое больше числа рёбер.
