Страница 229 номер 788, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать, что система уравнений \(\begin{cases}x + y + z = 0,\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0\end{cases}\) не имеет действительных решений.
\(\begin{cases}x + y + z = 0 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0\end{cases}\)
Возведём первое уравнение в квадрат:
\((x + y + z)^{2} = 0,\)
\(x^{2} + 2x(y + z) + y^{2} + 2yz + z^{2} = 0,\)
\(x^{2} + 2xy + 2xz + y^{2} + 2yz + z^{2} = 0,\)
\(\begin{cases}x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(xy + xz + yz) = 0 \\ \frac{yz + xz + xy}{xyz} = 0\end{cases},\)
\(\begin{cases}x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(xy + xz + yz) = 0 \\ yz + xz + xy = 0\end{cases}\) – откуда следует,
что \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0\). Для действительных чисел это возможно, только если \(x = y = z = 0\). Что невозможно по области определения второго уравнения.
Система уравнений не имеет действительных решений.
