Страница 68 номер 161, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1)

\(y = \sqrt{\dfrac{x^{2} - 4}{x + 3}}\)

Так как мы имеем корень четной степени, то подкоренное выражение не может быть отрицательным. Отсюда следует, что правая часть равенства имеет смысл при \(\frac{x^{2} - 4}{x + 3} \geqslant 0\), \(x + 3 \neq 0\)

Данное неравенство будет выполняться в двух случаях:

\(\begin{cases}x^{2} - 4 \geqslant 0 \\ x + 3 > 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^{2} \geqslant 4 \\ x > -3\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) \\ x > -3\end{cases}\)
\(\begin{cases}x^{2} - 4 \leqslant 0 \\ x + 3 < 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^{2} \leqslant 4 \\ x < -3\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} - 2 \leqslant x \leqslant 2 \\ x < -3\end{cases}\)

Отметим полученные у нас точки на числовой оси ОХ, а затем, подставляя в исходное неравенство промежуточные значения х с образованных интервалов, будем проверять – выполняется оно или нет

Решением данного неравенства будет числовой промежуток, на котором при любом значении переменной х будет выполняться данное неравенство

Область определения функции \(-3 < x \leqslant -2\), \(x \geqslant 2\)

2)

\(y = \sqrt[4]{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}\)

Так как мы имеем корень четной степени, то подкоренное выражение не может быть отрицательным. Отсюда следует, что правая часть равенства имеет смысл при \((x - 1)(x - 2)(x - 3) \geqslant 0\)

Воспользовавшись методом интервалов, решим данное неравенство

Рассмотрим выражение, находящееся в левой части неравенства

Оно обращается в 0 в точках 1, 2, 3

Отметим эти точки на числовой оси ОХ, которая разбивается указанными точками на 4 интервала, на каждом из которых рассматриваемое выражение сохраняет постоянный знак

Определим знак \((x - 1)(x - 2)(x - 3)\) на каждом из получившихся промежутков. Решением данного неравенства будут интервалы, на которых указанное выражение положительно или равно 0

Область определения функции \(1 \leqslant x \leqslant 2\), \(x \geqslant 3\)

3)

\(y = \sqrt[3]{\dfrac{1 - x}{1 + x}}\)

Так как мы имеем корень нечетной степени подкоренное выражение может принимать как положительное, так и отрицательное значения, а также может быть равным 0

Следовательно, правая часть равенства имеет смысл при \(1 + x \neq 0\), то есть функция определена для всех значений х, кроме х \(= -1\)

Область определения функции – \(x \neq -1\)

4)

\(y = \sqrt{(x + 1)(x - 1)(x - 4)}\)

Так как мы имеем корень четной степени, то подкоренное выражение не может быть отрицательным. Отсюда следует, что правая часть равенства имеет смысл при \((x + 1)(x - 1)(x - 4) \geqslant 0\)

Воспользовавшись методом интервалов, решим данное неравенство

Рассмотрим выражение, находящееся в левой части неравенства

Оно обращается в 0 в точках \(-1\), \(1\), \(4\)

Отметим эти точки на числовой оси ОХ, которая разбивается указанными точками на 4 интервала, на каждом из которых рассматриваемое выражение сохраняет постоянный знак

Определим знак \((x + 1)(x - 1)(x - 4)\) на каждом из получившихся промежутков. Решением данного неравенства будут интервалы, на которых указанное выражение положительно или равно 0

Область определения функции \(-1 \leqslant x \leqslant 1\), \(x \geqslant 4\)

5)

\(y = \sqrt[8]{\dfrac{x^{2} + 4x - 5}{x - 2}}\)

Так как мы имеем корень четной степени, то подкоренное выражение не может быть отрицательным. Отсюда следует, что правая часть равенства имеет смысл при \(\frac{x^{2} + 4x - 5}{x - 2} \geqslant 0\)

Разложим числитель дроби в левой части неравенства на множители.

\(x^{2} + 4x - 5 = 0\)

Для решения уравнения воспользуемся теоремой Виета:

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = -5 \\ x_{1} + x_{2} = -4\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = -5 \\ x_{2} = 1\end{cases}\)
\(x^{2} + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1)\)
\(\dfrac{(x + 5)(x - 1)}{\left(x - 2\right)} \geqslant 0\)

Оно обращается в 0 в точках \(-5\) и 1. При этом \(x \neq 2\)

Отметим эти точки на числовой оси ОХ, которая разбивается указанными точками на 4 интервала, на каждом из которых рассматриваемое выражение сохраняет постоянный знак

Определим знак \(\frac{(x + 5)(x - 1)}{\left(x - 2\right)}\) на каждом из получившихся промежутков. Решением данного неравенства будут интервалы, на которых указанное выражение положительно или равно 0

Область определения функции \(-5 \leqslant x \leqslant 1\), \(x > 2\)

6)

\(y = \sqrt[6]{x} + \sqrt{1 + x}\)

Так как мы имеем корень четной степени, то подкоренное выражение не может быть отрицательным. Отсюда следует, что правая часть равенства имеет смысл при:

\(\begin{cases}x \geqslant 0 \\ 1 + x \geqslant 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x \geqslant 0 \\ x \geqslant - 1\end{cases} \Rightarrow x \geqslant 0\)

Область определения функции – \(x \geqslant 0\)