Вопросы после параграфа §23 на странице 111, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 1

Степень вершины — это количество исходящих из неё рёбер. Кратные рёбра считаются каждое отдельно, а петля при подсчёте степени считается дважды. Например, если вершина соединена рёбрами с двумя другими вершинами и при ней есть петля, её степень равна \(2 + 2 = 4\).

Ответ: степень вершины — количество исходящих из неё рёбер (петля считается дважды).

Может: степень изолированной вершины равна 0, потому что из неё не выходит ни одного ребра. Например, в графе из двух вершин без рёбер степень каждой вершины равна 0.

Ответ: да, у изолированной вершины.

В любом конечном графе сумма степеней всех вершин является чётным числом. Причина в том, что у каждого ребра два конца: каждое ребро добавляет к сумме степеней ровно 2, поэтому сумма степеней всех вершин вдвое больше числа рёбер. Например, в треугольнике степени вершин 2, 2, 2, их сумма 6 вдвое больше числа рёбер 3.

Ответ: в любом конечном графе сумма степеней всех вершин чётна (она вдвое больше числа рёбер).

Сумма степеней \(1 + 2 + 2 = 5\) — нечётное число. Но у каждого ребра два конца, поэтому в любом графе сумма степеней всех вершин вдвое больше числа рёбер, то есть чётна. Значит, такого графа не может быть.

Ответ: нет: сумма степеней \(1 + 2 + 2 = 5\) нечётна.