Страница 16 номер 26, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
В угол, равный \(60^\circ\), последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга (рис. 5, б). Радиус первой окружности равен \(R_1\). Найти радиусы \(R_2,\ R_3,\ \ldots,\ R_n,\ \ldots\) остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма \(R_1 + 2(R_2 + R_3 + \ldots + R_n + \ldots)\) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.
Т.к. \(AO_{n}\) – биссектриса угла, то \(\angle O_{n}O_{n+1}B_{n} = 30^{\circ}\).
\(O_{n}B_{n} = R_{n} - R_{n+1} = \sin 30^{\circ} \cdot O_{n}O_{n+1} =\)
\(= \dfrac{1}{2}(R_{n} + R_{n+1}), R_{n} - \dfrac{1}{2}R_{n} = \dfrac{1}{2}R_{n+1} + R_{n+1},\)
\(R_{n+1} = \frac{1}{3}R_{n}\). Т.е. радиусы окружностей образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем \(q = \frac{1}{3}\):
\(R_{n} = R_{1} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = \frac{1}{3^{n-1}}R_{1}\). Найдём сумму всех элементов
\(R_{2} + R_{3} + \cdots = \frac{\frac{1}{3}R_{1}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}R_{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}R_{1}\). Умножив данное значение на 2, получим сумму диаметров всех окружностей, кроме первой. Т.к. \(AO_{1}\) – биссектриса угла, то \(\angle O_{1}AA_{1} = 30^{\circ}\) и \(O_{1}A_{1} = R_{1} = \sin 30^{\circ} \cdot AO_{1} = \frac{1}{2}AO_{1}\), \(AO_{1} = 2R_{1}\). Следовательно, расстояние от центра первой окружности до вершины угла будет равно \(R_{1} + 2(R_{2} + R_{3} + \cdots + R_{n} + \cdots) = 2R_{1}\).
