Страница 144 номер 507, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Пусть \(v\) - скорость собственная первой лодки, тогда \(w = 0{,}75v\) - скорость собственная второй лодки.

Первая лодка: \(\frac{8}{v} + \frac{5}{v + 2} \leqslant 9\frac{50}{60} - 7\)

Вторая лодка: \(\frac{8}{0{,}75v} + \frac{5}{0{,}75v + 2} \geqslant 10\frac{40}{60} - 7\)

Решим систему неравенств

\(\begin{cases} \frac{8}{v} + \frac{5}{v + 2} \leqslant 2\frac{5}{6} \\ \frac{8}{w} + \frac{5}{w + 2} \geqslant 3\frac{2}{3} \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} \frac{8(v + 2) + 5v}{v(v + 2)} \leqslant \frac{17}{6} \\ \frac{8(w + 2) + 5 \cdot w}{w(w + 2)} \geqslant \frac{11}{3} \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} 6(8v + 16 + 5v) \leqslant 17v(v + 2) \\ 3(8w + 16 + 5w) \geqslant 11w(w + 2) \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} 78v + 96 \leqslant 17v^{2} + 34v \\ 39w + 48 \geqslant 11w^{2} + 22w \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} - 17v^{2} + 44v + 96 \leqslant 0 \\ - 11w^{2} + 17w + 48 \geqslant 0 \end{cases}\)
\(\dfrac{D}{4} = 484 + 17 \cdot 96 = 46^{2}\)
\(v_{1} = \dfrac{- 22 - 46}{- 17} = 4;\ v_{2} = \dfrac{- 22 + 46}{- 17} = - \dfrac{24}{17}\)
\(D = 289 + 4 \cdot 11 \cdot 48 = 49^{2}\)
\(w_{1} = \dfrac{- 17 - 49}{- 22} = 3;\ w_{2} = \dfrac{- 17 + 49}{- 22} = - \dfrac{32}{22}\)
\(\begin{cases} - \left( v + \frac{24}{17} \right)(v - 4) \leqslant 0 \\ - \left( w + \frac{32}{22} \right)(w - 3) \geqslant 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} v \leqslant - \frac{24}{17};\ v \geqslant 4 \\ - \frac{32}{22} \leqslant w \leqslant 3 \end{cases}\)

Т.к. скорости не могут быть отрицательными, то неравенства

\(\begin{cases} v \geqslant 4 \\ 0 \leqslant w \leqslant 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} v \geqslant 4 \\ 0 \leqslant 0{,}75v \leqslant 0{,}75 \cdot 4 \end{cases}\ \Rightarrow v = 4\) км/ч скорость первой лодки
\(0{,}75 \cdot 4 = 3\) км/ч – скорость второй лодки.

Ответ: Скорости лодок 4 км/ч и 3 км/ч.