Вопросы после параграфа §15 на странице 147, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Три основные задачи на проценты — это нахождение процентов от числа, нахождение числа по его процентам и нахождение процентного отношения двух чисел.

Первая задача — нахождение процентов от числа. Чтобы найти \(p\) % от числа \(a\), находят значение выражения

\(\dfrac{a \cdot p}{100}.\)

Например, в классе 25 учеников, и 20 % из них занимаются в математическом кружке:

\(\frac{25 \cdot 20}{100} = 5\) (учеников) — занимаются в кружке.

Вторая задача — нахождение числа по его процентам. Чтобы найти число, \(p\) % которого равны \(a\), находят значение выражения

\(\dfrac{a \cdot 100}{p}.\)

Например, в кружке занимаются 5 учеников, и это 20 % всех учеников класса:

\(\frac{5 \cdot 100}{20} = 25\) (учеников) — в классе.

Третья задача — нахождение процентного отношения двух чисел. Чтобы узнать, сколько процентов число \(a\) составляет от числа \(b\), находят значение выражения

\(\dfrac{a}{b} \cdot 100\,\%.\)

Например, в классе 25 учеников, и 5 из них занимаются в кружке:

\(\frac{5}{25} \cdot 100\,\% = 20\,\%\) — столько процентов учеников класса занимаются в кружке.

Ответ: три основные задачи на проценты: нахождение процентов от числа (\(p\) % от числа \(a\) равны \(\frac{a \cdot p}{100}\)); нахождение числа по его процентам (число, \(p\) % которого равны \(a\), равно \(\frac{a \cdot 100}{p}\)); нахождение процентного отношения двух чисел (число \(a\) составляет \(\frac{a}{b} \cdot 100\,\%\) от числа \(b\)).

Пусть первоначальный капитал, равный \(a_0\), положили в банк под \(p\) % годовых, и вкладчик не снимает деньги со счёта. За каждый год сумма на счёте увеличивается на \(p\) %, то есть в \(\left(1 + \frac{p}{100}\right)\) раз. Значит, за \(n\) лет она увеличится в \(\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\) раз, и в конце \(n\)-го года на счёте будет сумма

\(a_n = a_0\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^n.\)

Полученную формулу называют формулой сложных процентов.

Например, вкладчик положил в банк \(40\,000\) р. под 5 % годовых. Через 2 года на его счёте будет сумма

\(\begin{aligned} &a_2 = 40\,000 \cdot \left(1 + \dfrac{5}{100}\right)^2 = 40\,000 \cdot 1{,}05^2 = {} \\ &= 40\,000 \cdot 1{,}1025 = 44\,100 \text{ (р.)}. \end{aligned}\)

Ответ: формула сложных процентов имеет вид \(a_n = a_0\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\), где \(a_0\) — первоначальный капитал, \(p\) — число процентов, на которое сумма увеличивается за год, \(n\) — число лет, \(a_n\) — сумма в конце \(n\)-го года.